高校数学の「定数aを含む二次関数」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 二次関数 , 数学検定準2級

問題

problem

 

\( \ a \ \)を定数とする.2次関数
\( \ f\left( x\right)=x^2-2ax+a+1 \ \) について考える.
(1) \( \ a=3 \ \)のとき,不等式\( \ f\left( x\right) \geqq 0 \ \)を満たす\( \ x \ \)の範囲を求めよ.
(2) \( \ 0 \leqq x \leqq 2 \ \)における\( \ f\left( x\right) \ \)の最小値を\( \ m \ \)とする.\( \ a \ \)の値で場合分けして,\( \ m \ \)を求めよ.
(3) \( \ 0 \leqq x \leqq 2 \ \)を満たすすべての\( \ x \ \)に対して\( \ f\left( x\right) \geqq 0 \ \)となるような\( \ a \ \)の値の範囲を求めよ.

(1)を解く。

$$\begin{align}a=3\quad &のとき, \\\\ f\left( x\right)=&x^2-6x+4=\left( x-3\right)^2-5\\\\ \\\\ \left( x-3\right)^2-5 \geqq &0 \\\\ \left( x-3\right)^2 \geqq &5\\\\ \\\\ x \leqq &3-\sqrt{5}\quad ,\quad 3+\sqrt{5} \leqq x \end{align}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}f\left( x\right)=&\left( x-a\right)^2-a^2+a+1 \\\\ f\left( x\right)\quad &の最小値 \ m \ は,\\\\ &軸 \ x=a\quad と定義域の位置関係で定まり,以下の3通りが考えられる.\end{align}$$

$$\begin{align}①\quad a \leqq 0\quad のとき,\quad &m=f\left( 0\right)=a+1 \\\\ ②\quad 0 \lt a \lt 2\quad のとき,\quad &m=f\left( a\right)=-a^2+a+1 \\\\ ③\quad 2 \leqq a\quad のとき,\quad &m=f\left( 2\right)=-3a+5 \end{align}$$

(3)を解く。

Lukia_74

Lukia

(2)で求めた最小値\( \ m \ \)が\( \ 0 \ \)以上となれば題意を満たしそうですね。
ただし、①~③のいずれもが使えるのかどうかは、確かめてみなければなりません。

(2)より,

$$\begin{align}①\quad &a \leqq 0\quad かつ\quad a+1 \geqq 0 \\\\ &-1 \leqq a \leqq 0 \\\\\end{align}$$
$$\begin{align}②\quad &0 \lt a \lt 2\quad かつ\quad -a^2+a+1 \geqq 0 \\\\ &0 \lt a \lt 2\quad かつ\quad \frac{1-\sqrt{5}}{2} \leqq a \leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2} \\\\ ゆえに,\quad &0 \lt a \leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align}$$
$$\begin{align}③\quad &2 \leqq a\quad かつ\quad -3a+5 \geqq 0 \\\\ すなわち,\quad &a \leqq \frac{5}{3}\quad かつ\quad 2 \leqq a \\\\ これを満たす&\quad a \ は存在しないので,不適. \end{align}$$
$$\begin{align}① \ , \ ② \ , \ ③より, & \\\\ &-1 \leqq a \leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{align}$$

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