高校数学の「図形と計量(三角形とその外接円)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年2月16日図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 図形と計量 , 三角形とその外接円 , 正弦定理 , 数学検定準2級

問題

problem
三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)の外接円の半径を\( \ \mathrm{R} \ \)とする。
\( \ \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \ , \ \mathrm{BC}=2 \ , \ \mathrm{R}=3 \ \)であるとき,三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)の面積を求めよ。


$$\begin{align}\angle \mathrm{BAC}=&\theta\quad とする. \ 正弦定理より\quad & \ \sin \theta=&\frac{\mathrm{BC}}{2\mathrm{R}}=\frac{1}{3}\ \ ゆえに,\quad \cos \theta=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\quad \cdots\quad ① \end{align}$$
$$\begin{align}ここで,\quad &\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x\quad \left( x \gt 0\right)\quad とする.\ \ \triangle \mathrm{ABC}\quad の面積を\quad &\mathrm{S}\quad とすると, \ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin \theta\quad\cdots\quad ☆\quad と表せる. \end{align}$$

$$\begin{align}余弦定理より\quad & \ \cos \theta=&\frac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2}{2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}=\frac{2x^2-4}{2x^2}\quad \cdots\quad ②\ ① \ = \ ②\quad &より \ \frac{x^2-2}{x^2}=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\ 3\left( x^2-2\right)=&2\sqrt{2}x^2 \ \left( 3-2\sqrt{2}\right)x^2=&6 \ x^2=&6\left( 3+2\sqrt{2}\right) \end{align}$$
☆に代入して,
$$\begin{align}\mathrm{S}=&\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin \theta \ =&\frac{1}{2}x^2\sin \theta \ =&\frac{1}{2}\cdot 6\left( 3+2\sqrt{2}\right)\cdot \frac{1}{3}=3+2\sqrt{2} \end{align}$$

こたえ

$$3+2\sqrt{2}$$

プロフィール

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Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2019年2月16日図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

Posted by Lukia_74