高校数学の「図形と計量(三角形とその外接円)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

図形と計量Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 図形と計量 , 三角形とその外接円 , 正弦定理 , 数学検定準2級

問題

problem

三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)の外接円の半径を\( \ \mathrm{R} \ \)とする。
\( \ \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \ , \ \mathrm{BC}=2 \ , \ \mathrm{R}=3 \ \)であるとき,三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)の面積を求めよ。


$$\begin{align}\angle \mathrm{BAC}=&\theta\quad とする. \\\\ 正弦定理より\quad & \\\\ \sin \theta=&\frac{\mathrm{BC}}{2\mathrm{R}}=\frac{1}{3}\\\\ \\\\ ゆえに,\quad \cos \theta=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\quad \cdots\quad ① \end{align}$$
$$\begin{align}ここで,\quad &\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x\quad \left( x \gt 0\right)\quad とする.\\\\ \\\\ \triangle \mathrm{ABC}\quad の面積を\quad &\mathrm{S}\quad とすると, \\\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin \theta\quad\cdots\quad ☆\quad と表せる. \end{align}$$

$$\begin{align}余弦定理より\quad & \\\\ \cos \theta=&\frac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2}{2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}=\frac{2x^2-4}{2x^2}\quad \cdots\quad ②\\\\ ① \ = \ ②\quad &より \\\\ \frac{x^2-2}{x^2}=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\\\\ 3\left( x^2-2\right)=&2\sqrt{2}x^2 \\\\ \left( 3-2\sqrt{2}\right)x^2=&6 \\\\ x^2=&6\left( 3+2\sqrt{2}\right) \end{align}$$
☆に代入して,
$$\begin{align}\mathrm{S}=&\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin \theta \\\\ =&\frac{1}{2}x^2\sin \theta \\\\ =&\frac{1}{2}\cdot 6\left( 3+2\sqrt{2}\right)\cdot \frac{1}{3}=3+2\sqrt{2} \end{align}$$

こたえ


$$3+2\sqrt{2}$$

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