高校数学の「データの分析(値の推定）」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年2月15日2021年8月16日データの分析実用数学技能検定（数学検定 数検),数検準2級

わかっていることを書き出しておく。

$$\begin{align}個々のデータを\quad x_i\quad \left( i=1 , 2 , \cdots , 10\right)\quad とする. \\\\ 平均を\quad \overline{x}\quad とすると, \\\\ \overline{x}=\displaystyle\frac{1}{10}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}{x_i}=5\quad \cdots\cdots\quad ① と表せる.\\\\ また,偏差を\quad x_i-\overline{x}\quad とする.\\\\ 特に\quad a の偏差を\quad \alpha\quad \left( \alpha \geqq 0\right)\\\\ b の偏差を\quad \beta\quad \left( \beta \geqq 0\right) \quad とする.\\\\ ここで,\quad a \leqq b\\\\ a-\overline{x} \leqq b-\overline{x}\\\\ \alpha \leqq \beta\quad が成り立つとする. \\\\ さらに,分散を\quad s^2\quad とする.\\\\ s^2=\displaystyle\frac{1}{10}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}{\left( x_i-\overline{x}\right)^2}=5\quad \cdots\cdots\quad ② と表せる。 \end{align}$$

仮のキャタピラー表をかいちゃおう。

$$\begin{align}\displaystyle\frac{1}{10}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}{\left( x_i-\overline{x}\right)}=\displaystyle\frac{1}{10}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}{x_i}-\displaystyle\frac{10\overline{x}}{10}\\\\ =\overline{x}-\overline{x}=0\quad より\end{align}$$
$$\begin{align} 1\times 2+2\times 1+\left( -2\right)\times 2+3\times 1+\left( -3\right)\times 1+\alpha+\beta=0 \\\\ \alpha+\beta=0\\\\ ここで,\quad \alpha \leqq \beta の仮定より,\quad \alpha=-\beta\quad とする.\end{align}$$

分散の式を立てて方程式を解く。

$$\begin{align} ②式\quad より\\\\ s^2=\displaystyle\frac{1}{10}\lbrace1^2\times 2+2^2\times 3+3^2\times 2+\left( -\beta\right)^2\times 1+\beta^2\times 1 \rbrace=5 \\\\ 両辺を10倍して, \\\\ 32+2\beta^2=50\\\\ \beta^2=9 \\\\ \beta \geqq 0\quad より\\\\ \beta=3\\\\ ゆえに,\quad \alpha=-3\quad \left( \alpha \leqq \beta\quad の仮定も成り立つ.\right)\end{align}$$ 以上より,
$$\begin{align}a=\alpha+\overline{x}=-3+5=2 \\\\ b=\beta+\overline{x}=3+5=8 \end{align}$$

こたえ

$$a=2 \quad , \quad b=8$$