高校数学の「データの分析(値の推定）」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）
問題
ただし,( a leq b )とする。
( 5 , 2 , 3 , 8 , 6 , 3 , 7 , 6 , a , b )
わかっていることを書き出しておく。
$$begin{align}個々のデータをquad &x_iquad left( i=1 , 2 , cdots , 10right)quad とする. \\ 平均をquad &overline{x}quad とすると, \\ overline{x}=&frac{1}{10}sum_{i=1}^{10}{x_i}=5quad cdotscdotsquad ① と表せる.\\ また,偏差をquad &x_i-overline{x}quad とする.\\ 特にquad &a の偏差をquad alphaquad left( alpha geq 0right)\\ &b の偏差をquad betaquad left( beta geq 0right) quad とする.\\ ここで,quad &a leq b\\ &a-overline{x} leq b-overline{x}\\ &alpha leq betaquad が成り立つとする. \\ さらに,分散をquad &s^2quad とする.\\ s^2=&frac{1}{10}sum_{i=1}^{10}{left( x_i-overline{x}right)^2}=5quad cdotscdotsquad ② と表せる。 end{align}$$
仮のキャタピラー表をかいちゃおう。
Lukia
「キャタピラー表」と命名いたしました。
今回、すでに平均が( 5 )とわかっているので、数字によってあらわされているデータを上下に振り分けるのは簡単にできると思いますが、
問題は、( a , b )の偏差をどうすればいいか。ということですよね。
Lukia
$$begin{align}frac{1}{10}sum_{i=1}^{10}{left( x_i-overline{x}right)}=&frac{1}{10}sum_{i=1}^{10}{x_i}-frac{10overline{x}}{10}\\ =&overline{x}-overline{x}=0quad よりend{align}$$
$$begin{align} 1times 2+2times 1+left( -2right)times 2+3times 1+left( -3right)times 1+alpha+beta=&0 \\ alpha+beta=&0\\ ここで,quad alpha leq beta の仮定より,quad alpha=-beta&quad とする.end{align}$$
分散の式を立てて方程式を解く。
Lukia
すると、以下のとおりになりますね。
$$begin{align} ②式quad &より\\ s^2=&frac{1}{10}lbrace1^2times 2+2^2times 3+3^2times 2+left( -betaright)^2times 1+beta^2times 1 rbrace=5 \\ 両辺を10倍して,& \\ &32+2beta^2=50\\ &beta^2=9 \\ &beta geq 0quad より\\ &beta=3\\ ゆえに,quad &alpha=-3quad left( alpha leq betaquad の仮定も成り立つ.right)end{align}$$
以上より,
$$begin{align}a=&alpha+overline{x}=-3+5=2 \\ b=&beta+overline{x}=3+5=8 end{align}$$
こたえ
$$a=2quad ,quad b=8$$
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