高校数学の「内分線に囲まれた三角形の面積」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 図形と計量 , 数学検定準2級

問題

problem

 

一辺が\( \ 12 \ \)の正三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)の辺\( \ \mathrm{AB} \ \)の中点を\( \ \mathrm{D} \ \),辺\( \ \mathrm{AC} \ \)を\( \ 2:1 \ \)に内分する点を\( \ \mathrm{E} \ \)とし,頂点\( \ \mathrm{B} \ \)から\( \ \mathrm{E} \ \)へ,頂点\( \ \mathrm{C} \ \)から\( \ \mathrm{D} \ \)へそれぞれ直線を引き,その交点を\( \ \mathrm{F} \ \)としたときできる三角形\( \ \mathrm{CEF} \ \)の面積を求めよ。

内分比を統一していこう。

Lukia_74

Lukia

内分比を、反対側の頂点に互い違いにおいていくことで、
最終的には内分比の統一をめざします。
まず、辺\( \ \mathrm{AC} \ \)を\( \ 2:1 \ \)に内分するので、
頂点\( \ \mathrm{C} \ \)にをおき、
頂点\( \ \mathrm{A} \ \)にをおきます。
そして、点\( \ \mathrm{E} \ \)は内分比の和であるをおきます。

Lukia_74

Lukia

同様に辺\( \ \mathrm{AB} \ \)の内分比も書き込みます。
辺\( \ \mathrm{AB} \ \)は、点\( \ \mathrm{D} \ \)によって、\( \ 1:1 \ \)に内分されますね。
それぞれの頂点に①を書き込むわけですが、頂点\( \ \mathrm{A} \ \)にはすでに①があります。
実際には、\( \ \color{#0004fc}{①}\times \color{#f700ca}{①} \ \)が行われることになるのですが、見た目には区別がつかないので、
で統一していきます。

Lukia_74

Lukia

内分比を統一したのが、以下の図です。
すると、2本の線分の交点\( \ \mathrm{F} \ \)にも、内分比がつけられますね。

Lukia_74

Lukia

点\( \ \mathrm{F} \ \)は線分\( \ \mathrm{BE} \ \)を\( \ 3:1 \ \)に内分するといえますね。

ここまで導いたら、あとは段階をふんで表現していくだけです。

$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}の面積を\mathrm{S}&とする. \\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}12^2\sin 60^{\circ} \\ =&36\sqrt{3} \end{align}$$
$$\begin{align}\triangle \mathrm{EBC}=&\frac{1}{3}\triangle \mathrm{ABC} \\ \\ \triangle \mathrm{EFC}=&\frac{1}{4}\triangle \mathrm{EBC} \\ =&\frac{1}{12}\triangle \mathrm{ABC}\\ =&3\sqrt{3} \end{align}$$

こたえ

$$3\sqrt{3}$$

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