高校数学の「内分線に囲まれた三角形の面積」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
2019年2月9日図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

[mathjax]
内分比を統一していこう。

Lukia
最終的には内分比の統一をめざします。
まず、辺\( \ \mathrm{AC} \ \)を\( \ 2:1 \ \)に内分するので、
頂点\( \ \mathrm{C} \ \)に②をおき、
頂点\( \ \mathrm{A} \ \)に①をおきます。
そして、点\( \ \mathrm{E} \ \)は内分比の和である③をおきます。

Lukia
辺\( \ \mathrm{AB} \ \)は、点\( \ \mathrm{D} \ \)によって、\( \ 1:1 \ \)に内分されますね。
それぞれの頂点に①を書き込むわけですが、頂点\( \ \mathrm{A} \ \)にはすでに①があります。
実際には、\( \ \color{#0004fc}{①}\times \color{#f700ca}{①} \ \)が行われることになるのですが、見た目には区別がつかないので、
①で統一していきます。

Lukia
すると、2本の線分の交点\( \ \mathrm{F} \ \)にも、内分比がつけられますね。

Lukia
点\( \ \mathrm{F} \ \)は線分\( \ \mathrm{BE} \ \)を\( \ 3:1 \ \)に内分するといえますね。
ここまで導いたら、あとは段階をふんで表現していくだけです。
$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}の面積を\mathrm{S}&とする. \\\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}12^2\sin 60^{\circ} \\\\ =&36\sqrt{3} \end{align}$$
$$\begin{align}\triangle \mathrm{EBC}=&\frac{1}{3}\triangle \mathrm{ABC} \\\\ \triangle \mathrm{EFC}=&\frac{1}{4}\triangle \mathrm{EBC} \\\\ =&\frac{1}{12}\triangle \mathrm{ABC}\\\\ =&3\sqrt{3} \end{align}$$
こたえ
$$3\sqrt{3}$$
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Posted by Lukia_74
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