中学数学の2種類の濃度の食塩水を混ぜる問題(その8)

2018年6月26日中学数学Yahoo!知恵袋, 「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検3級

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Lukia

いよいよ2種類の濃度の食塩水を混ぜる問題も、ラスト2つとなりました。
今回と、次回は、少し難しい部類に入ると思います。
「表を描いて、ていねいに数字をあてはめていく」という作業がどのぐらい役に立つのか。というのを確かめてみるだけでも、十分意味がありますからね。
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Lukia

それでは、さっそく下に問題を示します。
少しの間、スクロールの手を止めて解いてみてください。

問題



細かく分ける。

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もも

う~わっ、数学なのに、問題文が長いですねぇ。
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Lukia

そうですねぇ。食塩水の問題を解き始めたころだったら、「見なかったことにしよう・・・」と思ってしまいそうですが、よくよく見てみると、これまでに扱った問題と似ているところがありますよね。
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もも

ひとまず、問題文を小分けにしてみようかな。
読んでいくと、混ぜ合わせるという操作を2回やっていますよね。
ということは、前半は6行目までで、
7行目からは後半。としてよさそうですね。
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Lukia

いいですねぇ。
人間って、いっぺんにいろんなことをするという「マルチタスク」に向いてないので、
タスクを細かく分けることは大切なんですよね。

前半(6行目まで)

表に書き込む。

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もも

じゃ、まずは、いつものように、横長の線を3本と、それを4等分するように縦の線を3本引きます。
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Lukia

以下のような表になりますね。

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もも

はい。
そして、①から⑥の中で、数字が書き込めそうなところを探して書き込みます。
今回は、縦の列で、左から2番目が容器Aの食塩水、
左から3番目が、容器Bの食塩水とします。
すると、①が6、
③は「ある濃度」とあるから、飛ばしておこう。
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もも

途中を読み飛ばして、最後に14%の食塩水になった。とあるから、
⑤が14となりますよね。
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もも

②と④と⑥を埋めたいけれど、少し難しいな・・・
AとBは、400gずつ入っているとあるから、
②と④に400を入れられそうだけど・・・
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もも

400gを混ぜ合わせるわけじゃないんだ!
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Lukia

はい。
問題文の4行目からを読んでほしいのですが、
「容器Aから何gか取り出す。」とありますね。
はたして、②に400を入れてもよいでしょうか。
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もも

あ、ホントだ!
容器Aに400gの食塩水が入っているのは、間違いないけど、
400g全部使うわけじゃないんですね。
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Lukia

そうです。そして、後半の最後の2行を読むと、
求めるのは、「はじめに容器Aから取り出した食塩水の重さ」とありますね。
ではあらためて聞きます。
②には、なんと書き込めばよいでしょうか。
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もも

\(\Large x\) です!
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もも

問題文を読むと、容器Aから \(\Large x\) g取り出して、容器Bに入れたとわかるので、
④は、400のままでよさそうですね。
「横はたし算」ルールを適用して、⑥は \(\Large \left( x+400\right)\) とすることができます。
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Lukia

そして、容器Bの食塩水の濃度を表す数字が見当たらないので、
③は、\(\Large y\) としておきましょう。

%を百分率に直しておく。

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Lukia

せっかく、前半後半に分けたので、表と式を完成させてしまいましょう。
「似たような作業は一気にやってしまいましょう。」と言いたいところですが、後半に少し難しいところがあるので、
前半を一つの問題。とみなして、一連の作業をこなしてみます。
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もも

たまには、Lukia先生の誘導に乗ってみるか♪
百分率に直すのは、簡単。
左から、\(\Large \frac{6}{100}\) ・ \(\Large \frac{y}{100}\) ・ \(\Large \frac{14}{100}\) です。

縦はかけ算・横はたし算

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Lukia

では、縦はかけ算・横はたし算をして、一気に式を立ててみてください。
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もも

は~い。
まず、「縦はかけ算」をしていきます。
左から2番目の列は、\(\Large \frac{6}{100}\times x\) 、
左から3番目の列は、\(\Large \frac{y}{100}\times 400\) 、
右端の列は、\(\Large \frac{14}{100}\times \left( x+400\right)\) となります。
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もも

さらに、この表の一番下の段の「横はたし算」をすれば、
式は、
\(\Large \frac{6}{100}\times x + \frac{y}{100}\times 400 = \frac{14}{100}\times \left( x+400\right)\)

となります。

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もも

あれっ、でも、ひとつの式に2つも文字がある!
計算したくても、計算できない!
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Lukia

はい。
式自体は完成しましたから、ひとまずおいといて、
後半に移りましょう。

後半(7行目から)

表に書き込む。

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もも

まずは、「後半」用の表を描いて、数字を埋めていこう。

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もも

①は6、
③は \(\Large y\) 、
⑤は・・・9か。
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Lukia

ももちゃん、ひっかかったな・・・
( ̄ー ̄)ニヤリッ。
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もも

な、なんですか、その不敵な笑みは。(汗)
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Lukia

容器Bは、はたして \(\Large y\) %のままでしょうか。
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もも

えっ?
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Lukia

今までのことを思い出してみてください。
濃度が異なる2種類の食塩水を混ぜたら、新たな濃度を示す食塩水になっていたんですよ?
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もも

はい・・・。
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Lukia

前半では、容器Bに、容器Aからいくらか食塩水を移したんですから、
容器Bは、\(\Large y\) %のままですか?
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もも

容器Bは、\(\Large y\) %のまま・・・?
(目は前半部分を泳いでいる)
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もも

じゃない!
14%になってる!!
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Lukia

そうですね。
実は、前半で立てた式は、容器Bの新しい姿、「ニュー容器B」のことを表しているんですね。
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もも

なんですか、そのだっさいネーミングはッ。
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もも

気を取り直して、書き直してみます。
①は6、
③は14、
⑤は9となりますね。
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Lukia

はい。
前半で書いておいた \(\Large y\) は使われそうにないですね。
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もも

あ、ホントだ。
じゃ、次は、全体の重さの段ですね。
なんだか、操作がややこしいな。
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Lukia

いま、容器Aの重さは、どうなっていますか?
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もも

たしか、もともと400gあったんだけど、
そこから \(\Large x\) g取り出したから・・・
\(\Large \left( 400-x\right)\) かな?
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Lukia

そのとおりです。
だから、②には、 \(\Large \left( 400-x\right)\) が入りますね。
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もも

あ、ホントだ。
じゃぁ、容器Bは・・・
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Lukia

ニュー容器Bですよ?
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もも

いやですよ~、そのダサい名前は言いたくない~。
あっ、「容器Aから取り出したのと同じ重さだけ取り出した」とあるから、
④は、 \(\Large x\) ですね。
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Lukia

チッ、「ニュー容器B」なのに・・・
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もも

ということは、「横はたし算」をすれば、
⑥は、\(\Large \left( 400-x\right)+x=400\) で、
400gとなりますね。
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Lukia

ふんっ、次に進んでくださいッ!

%を百分率に直しておく。

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もも

じゃ、①、③、⑤の%を百分率に直します。
左から、\(\Large \frac{6}{100}\) ・ \(\Large \frac{14}{100}\) ・ \(\Large \frac{9}{100}\) となりますね。

縦はかけ算・横はたし算

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もも

ということは、もう「縦はかけ算・横はたし算」で一番下の段のマスをうめていくんだな。
ですよねぇ~、Lukia先生?
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Lukia

ダサイって言われた・・・(涙)
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もも

なんでいじけてんですか。(笑)
ま、いいや。
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もも

まず、それぞれの縦の列のかけ算をしていきます。
左から、
\(\Large \frac{6}{100}\times \left( 400-x\right)\) 、
\(\Large \frac{14}{100}\times x\) 、
\(\Large \frac{9}{100}\times 400\) となります。

一番下の段の「たし算」をする。

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もも

Lukia先生、容器Aと、に、にゅー容器Bの計算を済ませましたよ。
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Lukia

(ハッ!)
も、ももちゃん、今「ニュー容器B」って言ってくれました?
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もも

は、はい。言いましたよ。
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Lukia

ねっ、ねっ、やっぱり「ニュー容器B」ですよねっ?
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もも

そ、そうですね。
(なんで、いい大人のごきげんとりやってんだか・・・)
では、いよいよ一番下の段の「横はたし算」をして、
式を立てていきますね。
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もも

式は、
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もも

両辺に分母の100があるから、はらってよさそうだな。
ということは、

答えは 150gです。

おわりに

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Lukia

いかがでしたか。今回と次回は、「2種類の濃度の食塩水を混ぜ合わせる」問題の仕上げとなります。
問題文が長い場合、このように小分けにして、できるところから考えていくという姿勢が大切になってきます。
それでは、再度問題と答えを載せておわりにしましょう。



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