高校数学の「図形と計量(角の二等分線がらみ)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年2月7日図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

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問題
\( \ \mathrm{AB}=4 \ , \ \mathrm{BC}=8 \ , \ \mathrm{CA}=6 \ \)の三角形がある。
内心を点\( \ \mathrm{K} \ \)とする。
内接円と\( \ \mathrm{BC} \ \)の接点を\( \ \mathrm{P} \ \)とする。
\( \ \mathrm{BC} \ \)と\( \ \mathrm{AK} \ \)の交点を\( \ \mathrm{D} \ \)とする。
(1) \( \ \cos \angle \mathrm{BAC} \ \)を求めよ。
(2) 三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)の面積を求めよ。
(3) \( \ \mathrm{PK} \ \)の長さを求めよ。
(4) 三角形\( \ \mathrm{KPD} \ \)の面積を求めよ。

$$\begin{align}(1)\quad \quad \cos \angle \mathrm{BAC}=&\displaystyle\frac{6^2+4^2-8^2}{2\cdot 6\cdot 4} =-\displaystyle\frac{1}{4}\\\\(2)\quad \quad (1)より\sin \angle \mathrm{BAC}=&\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{4}\\\\ \quad \quad \mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{15}}{4}=3\sqrt{15} \end{align}$$
$$\begin{align}(3)\quad \quad \mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{2}\left( \mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}\right)\cdot \mathrm{KP} \\\\ 3\sqrt{15}=&20\mathrm{KP} \\\\ \mathrm{KP}=&\displaystyle\frac{3\sqrt{15}}{10} \end{align}$$

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Lukia

内心は、内接円の中心ですが、
円に外接する三角形のそれぞれの角の二等分線の交点でもあります。
そして、角の二等分線は、対辺を角をなす2本の線分の比に内分します。

$$\begin{align}線分 \ \mathrm{AD}\quad は&辺 \ \mathrm{CB}\quad を \ 3:2\quad に内分する. \\\\ \mathrm{DB}=&\displaystyle\frac{2}{5}\times 8=\displaystyle\frac{16}{5} \\\\ また \ \mathrm{PB}=&3\quad より\\\\ \mathrm{DP}=&\displaystyle\frac{1}{5}\\\\ \triangle \mathrm{KDP}=&\displaystyle\frac{1}{2}\times \mathrm{DP}\times \mathrm{PK}=\displaystyle\frac{3\sqrt{15}}{100} \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2019年2月7日図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

Posted by Lukia_74