Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった三角不等式を解いてみる。

2018年9月22日三角関数, 数学検定準1級Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

読了時間: 約240

問題

Left Caption

 

\(2\cos^{2} \theta+\sin \theta-2 \leqq 0\)
を解け。
ただし、\(\left( 0 \leqq \theta \leqq \pi\right)\) である。

解法

$$\begin{align}左辺=&2\cos^{2} \theta-1+\sin \theta -1 \\ =&1-2\sin^{2} \theta+\sin \theta-1 \\ =&-2\sin^{2} \theta+\sin \theta \end{align}$$

Left Caption

Lukia

すなわち、新たに書き直せば、以下のような不等式になりますね。

$$\begin{align}-2\sin^{2} \theta+\sin \theta& \geqq 0  ただし、\left( 0 \leqq \theta \leqq \pi\right) \\ 2\sin^{2} \theta-\sin \theta& \leqq 0 \\ \sin \theta\left( 2\sin \theta-1\right)& \leqq 0\\ 0 \leqq \sin \theta \leqq \frac{1}{2} \end{align}$$

Left Caption

Lukia

「サインはV」ならぬ、「サインは\( y\)」で覚えましょう。

「サインはワイ」について、ちょっと脱線。

Left Caption

Lukia

\(xy\)平面上に、原点を中心とした半径1の円を描きます。
式としては、\(x^2+y^2=1\) ですね。
Left Caption

Lukia

その円周上のある点の座標を \(P\left( x , y\right)\) とし、
点\(P\)からおろした垂線と\(x\)軸との交点を\(H\left( x , 0\right)\)とします。
さらに、線分\(OP\)と\(x\)軸とのなす角を\(\theta\)とします。

Left Caption

Lukia

三角形\(POH\)において、
\(\sin \theta=\frac{PH}{PO}=\frac{y}{1}\) と表わせます。
Left Caption

Lukia

ということは、変形すれば、
\(y=\sin \theta\) とできますね。
Left Caption

Lukia

同様に、\(\cos \theta=\frac{OH}{PO}=\frac{x}{1}\) より、
\(x=\cos \theta\)となります。

いやいや、「サインはV」ってナニ?

「サインはV」とは、1960年代末ごろに人気のあった漫画、ドラマのタイトルで、
「スポーツ根性」略してスポこんドラマの草分け的存在なんだそうです。

さすがに、私も生まれてないので、ドラマや漫画を見たりしたことはないのですが、
高校1年生のときの数学の先生がしきりに、「サインはワイ」とおっしゃって印象付けてくれたので、
いまだに覚えています。

本線に戻ります。

$$0 \leqq \theta \leqq \pi のときの、0 \leqq \sin \theta \leqq \frac{1}{2} を求めます。$$

Left Caption

Lukia

\(0 \leqq \theta \leqq \pi\)は、上の図だと、赤い半円上の点と原点とを結んだ線分で表されます。
Left Caption

Lukia

また、\(0 \leqq \sin \theta \leqq \frac{1}{2}\) は、
\(0 \leqq y \leqq \frac{1}{2}\) と置き換えてもさしつかえないのでしたから、
上の図の青い2本の直線に囲まれた部分に存在するといえます。

Left Caption

Lukia

そして、赤と青が重なるのが紫の部分です。
こたえるのは、角度\(\left( \theta\right)\)ですから、

$$ ゆえに、0 \leqq \theta \leqq \frac{ \pi }{ 6 }  ,  {\frac{ 5 }{ 6 }}\pi \leqq \theta \leqq \pi$$

こたえ

$$ 0 \leqq \theta \leqq \frac{ \pi }{ 6 }  ,  {\frac{ 5 }{ 6 }}\pi \leqq \theta \leqq \pi$$

カテゴリー