高校数学の「原関数を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

微分と積分, 積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級, 数検準1級

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KEYWORDS高校数学 , 積分 , 数学検定2級 , 数学検定準1級

問題

problem

\( \ x \ \)に関する関数が,\( \ f\left( x\right)=x^2+2\int_{-1}^{3} xf\left( t\right) dt \ \)であるとき,
\( \ f\left( x\right) \ \) を求めよ.
Lukia_74

Lukia

まずは、積分の部分をなんとかしたいところですが、\( \ f\left( t\right) \ \)がわからないため、計算することができません。
ただし、定積分ですから、定数になりそうですよね。
そこでまずはざっくりと\( \ k \ \)とおいてやります。

$$\begin{align}与式=&x^2+2x\int_{-1}^{3} f\left( t\right) dt \\ ここで, \ k=&\int_{-1}^{3} f\left( t\right) dt\quad とおく. \\ すると, \ f\left( x\right)=&x^2+2kx\quad と表せる.\\ \\ k=&\int_{-1}^{3} \left( t^2+2kt\right) dt\\ k=&\frac{28}{3}+8k\\ k=&-\frac{4}{3}\\ \\ ゆえに\quad f\left( x\right)=&x^2+2\cdot \left( -\frac{4}{3}\right)x=x^2-\frac{8}{3}x \end{align}$$

こたえ


$$f\left( x\right)=x^2-\frac{8}{3}x$$

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