高校数学の「原関数を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
2019年1月29日微分と積分,積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

読了時間: 約1分4秒
[mathjax]
問題
\( \ x \ \)に関する関数が,\( \ f\left( x\right)=x^2+2\int_{-1}^{3} xf\left( t\right) dt \ \)であるとき,
\( \ f\left( x\right) \ \) を求めよ.
\( \ f\left( x\right) \ \) を求めよ.

Lukia
まずは、積分の部分をなんとかしたいところですが、\( \ f\left( t\right) \ \)がわからないため、計算することができません。
ただし、定積分ですから、定数になりそうですよね。
そこでまずはざっくりと\( \ k \ \)とおいてやります。
ただし、定積分ですから、定数になりそうですよね。
そこでまずはざっくりと\( \ k \ \)とおいてやります。
$$\begin{align}与式=&x^2+2x\int_{-1}^{3} f\left( t\right) dt \\\\ ここで, \ k=&\int_{-1}^{3} f\left( t\right) dt\quad とおく. \\\\ すると, \ f\left( x\right)=&x^2+2kx\quad と表せる.\\\\ k=&\int_{-1}^{3} \left( t^2+2kt\right) dt\\\\ k=&\frac{28}{3}+8k\\\\ k=&-\frac{4}{3}\\\\ ゆえに\quad f\left( x\right)=&x^2+2\cdot \left( -\frac{4}{3}\right)x=x^2-\frac{8}{3}x \end{align}$$
こたえ
$$f\left( x\right)=x^2-\frac{8}{3}x$$
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