高校数学の「絶対値記号にはさまれた式の定積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

微分と積分Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 積分 , 絶対値記号 , 数学検定2級

問題

problem

 

次の問いに答えよ。
(1) \(\int_{-2}^2 \vert x^3-1 \vert dx\quad \)を計算せよ。
(2) \(s\left( t\right)=\int_{-t}^t\vert x^3-1 \vert dx\quad \)を求めよ。ただし,\(t\)は正の定数とする。
(3) (2)で求めた\(s\left( t\right) \ \)が\(42\)に等しくなるように\(t\)の値を求めよ。

どんなグラフになるのか微分して増減表を書く。

Lukia_74

Lukia

まずは、\(f\left( x\right)=\vert x^3-1 \vert \ \)そのものが、どんなグラフを描くのかを探ってみましょう。

$$\begin{align}f\left( x\right)=&\vert x^3-1 \vert\quad \left( -2 \leqq x \leqq 2\right) \quad を考える.\\\\ g\left( x\right)=&x^3-1\quad とする. \\\\ g’\left( x\right)=&3x^2 \\\\ g’\left( x\right)=&0\quad となるのは, \ x=0 \ のときであり,\\\\ g\left( x\right)& \ は極値を持たない. \end{align}$$

増減表は以下のとおり.

$$x$$ $$\cdots$$ $$-2$$ $$\cdots$$ $$0$$ $$\cdots$$ $$2$$ $$\cdots$$
$$g’\left( x\right)$$ $$+$$ / $$+$$ $$0$$ $$+$$ / $$+$$
$$g\left( x\right)$$ $$-9$$ $$-1$$ 7

$$\begin{align}また, \ g\left( x\right)=&0 \ となるのは, \\\\ x=&1 \ のときである.\end{align}$$
以上より,
$$\begin{align}f\left( x\right)=&x^3-1\quad \left( 1 \leqq x\right) \\\\ f\left( x\right)=&-\left( x^3-1\right)\quad \left( x \lt 1\right) \end{align}$$
グラフは、以下のピンクと青の実線のとおり.

Lukia_74

Lukia

グラフは、\(y=x^3-1 \ \)を描いておいて、\(x\)軸以下をパタンと折り返すか、\(y=-x^3+1\)を描いて、必要な部分(\(x\)軸よりも上)を残すかです。

(1)を解く。

$$\begin{align}\int_{-2}^2 \vert x^3-1 \vert dx=&\int_{-2}^1 -f\left( x\right) dx+\int_1^2 f\left( x\right) dx \\\\ここで, \ &f\left( x\right) \ の原関数を \ \mathrm{F}\left( x\right) \ とおく. \\\\ \mathrm{F}\left( x\right)=&\frac{1}{4}x^4-x \ である.\\\\ 与式=&-\mathrm{F}\left( 1\right)+\mathrm{F}\left( -2\right)+\mathrm{F}\left( 2\right)-\mathrm{F}\left( 1\right) \\\\ =&-2\mathrm{F}\left( 1\right) +\mathrm{F}\left( -2\right)+\mathrm{F}\left( 2\right)\\\\ =&-2\times \left( \frac{1}{4}-1\right)+\left( 4+2\right)+\left( 4-2\right)\\\\ =&\frac{19}{2} \end{align}$$

(2)を解く。

(1)より,
$$\begin{align}s\left( t\right)=&\int_{-t}^1 -f\left( x\right) dx+\int_1^t f\left( x\right) dx \\\\ =&\mathrm{F}\left( t\right)+\mathrm{F}\left( -t\right)-2\mathrm{F}\left( 1\right)\\\\ =&\left( \frac{1}{4}t^4-t\right)+\left( \frac{\left( -t\right)^4}{4}+t\right)-2\left( \frac{1}{4}-1\right) \\\\ =&\frac{1}{2}\left( t^4+3\right)\end{align}$$

(3)を解く。

$$\begin{align}s\left( t\right)=\frac{1}{2}\left( t^4+3\right)=&42 \\\\ t^4+3=&84 \\\\ t^4=&81\\\\ t=& \pm 3\\\\ ただし \ t \gt 0& \ より\\\\ t=&3 \end{align}$$

こたえ

(1) (2) (3)
$$\frac{19}{2}$$ $$\frac{1}{2}\left( t^4+3\right)$$ $$3$$

 

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