高校数学の「指数がらみの方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2020年5月20日指数と対数Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数学検定2級

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KEYWORDS

高校数学 , 指数がらみの方程式 , 指数 , 対数 , 数学検定2級

問題


方程式\( \ 4^x+4^{-x}-2^{x+2}-2^{-x+2}+2=0 \ \) を解け。

解法

\( \ \begin{align}2^{2x}+2^{-2x}-4\cdot 2^x-4\cdot 2^{-x}+2=&0 \\ \left( 2^x+2^{-x}\right)^2-2\cdot 2^x\cdot 2^{-x}-4\left( 2^x+2^{-x}\right)+2=&0 \\ここで\quad 2^x+2^{-x}=t\quad \left( t \gt 0\right)\quad とする& \end{align}\ \)

$$\begin{align}t^2-4t=&0 \\ t \gt 0より&\quad t=4 \\ ここで \ 2^x=&s\quad \left( s \gt 0\right)\quad \quad とする \end{align}$$
$$\begin{align}s+\frac{1}{s}=&4\quad 両辺をs倍して \\ s^2+1=&4s \\ s^2-4s+1=&0\\ s=&2 \pm \sqrt{3} \end{align}$$
$$\begin{align}2^x=&s\quad より\quad x=\log_{2}s\quad だから \\ x=&\log_{2}\left( 2 \pm \sqrt{3}\right) \end{align}$$

こたえ

$$x=\log_{2}\left( 2 \pm \sqrt{3}\right)$$

プロフィール

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Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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