数学検定準1級・数学Ⅲ内容の指数の不定積分を書いてみる。

2018年7月14日数学検定準1級, 積分とその応用数学, 数学検定, 数検準1級

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Lukia

2018年7月22日実施の
第322回「実用数学技能検定(以下数検)」の受検にむけ、
「見直しノート」を作成し始めました。

「見直しノート」とは何ぞや?と思われた方は、よろしければこちらもどうぞ。


「見直しノート」をつくっていると、
高校1年のときの数学を担当してくださったシバタ先生の名言、
「過去の自分は他人である。」を思い出しました。

その単元ばっかり勉強しているときは、慣れているから当たり前のことで、省略できる部分も、
少し離れている間に、「あたりまえ」度が薄れて、
「あれっ、なんでこんなことに?」となりました。(笑)

ほんの2、3カ月前でも、やっぱり「過去の自分は他人」でした。

というわけで、今回は、「過去の自分」のレベルより少し下げてていねいめに書いた内容を、
こちらにも書き留めておこうかなと思います。


$$\Large \int a^x dx (ただし、a \neq 0 )$$

$$\Large\begin{align} a^x &=t とする。 \\ &両辺の自然対数をとって、\\x\log a & =\log t \end{align}$$
$$\Large 両辺を x について微分する。$$
$$\Large \begin{align} \log a &=\frac{1}{t}\cdot \frac{ \mathrm{ d } t }{ \mathrm{ d } x }\\ dx &=\frac{1}{t\log a} より、\end{align}$$
$$\Large \begin{align}与式&=\int t\cdot \frac{1}{t\log a} dt \\ &=\frac{1}{\log a}\int 1 dt \cdots ☆\\ &=\frac{t}{\log a}+C \\ &= \frac{a^x}{\log a}+C \end{align}$$

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Lukia

私が今回ひっかかったのは、☆の式のところです。
すぐ上の式で、\(\Large t\)は、約分されて消えているはずなのに、どうして復活している??(汗)となりました。
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Lukia

でも、1について積分するのですから、そりゃ~ \(\Large t\) が復活するはずです。
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Lukia

高校二年生の積分の範囲がぽろっと抜けていたりすることがあるので、
「数学Ⅲ範囲だ!」と気がまえることなく、柔軟な頭にしておきたいものですね。
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Lukia

指数がからむ問題の時は、対数を取ってから計算すると、けっこう簡単に解けるように設定してある問題が多いので、困ったら、一度は対数を取ってみるとよいと思います。

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