中学数学の食塩水に「水」を混ぜる問題(その3)


Lukia
さっそく以下の問題を解いてみましょう。
解けたら、スクロールして、答え合わせをしてみてくださいね。
はじめの食塩水に溶けていた食塩の重さは何gか。
表に書き込む。

もも
横長の線を3本と、それを4等分できるように、
縦の線を3本引きます。

Lukia

もも
まず、①は20、
②が80・・・

もも
④が80 になるんだ!

Lukia
ということは、③は、何ですか?

もも
0 が入ります。

もも

Lukia
ということは、全体の重さの段は、「横はたし算」をしますから、
②+④=⑥となり、
⑥は、\(\Large x+80\) となりますね。

もも
⑤が12となります。
%を百分率に直しておく。

Lukia

もも
左から、
\(\Large \frac{20}{100}\) ・ \(\Large \frac{0}{100}\) ・ \(\Large \frac{12}{100}\) です。
縦はかけ算・横はたし算

Lukia
表の一番下の段のマスをうめていきましょう。

もも
\(\Large \frac{20}{100}\times x\) となります。

Lukia

もも
あっ、「はじめの食塩水に溶けていた食塩の重さ」です。

Lukia
求める食塩の重さを \(\Large y\) とおくと、
20%の食塩水の列は、別の表現ができますね。

もも
20%の食塩水の列の一番下のマスは、
\(\Large \frac{20}{100}\times x\) でもあり、
\(\Large y\) でもあるから・・・

もも
\(\Large y=\frac{20}{100}\times x\) だ!

Lukia
これが後で効いてきますよ~。

もも
水、つまり、「0%食塩水」の列は、
\(\Large \frac{0}{100}\times 80\) となるので、
一番下の段のマスには、\(\Large 0\) を書き込みます。

もも
\(\Large \frac{12}{100}\times \left( x+80\right)\) となります。
一番下の段の「たし算」をする。

Lukia
それでは、一番下の段の「横はたし算」をして、式を立ててください。

もも
式は、 \(\Large \frac{20}{100}\times x+0=\frac{12}{100}\times \left( x+80\right)\)
すなわち、
\(\Large \frac{20}{100}\times x=\frac{12}{100}\times \left( x+80\right)\) となります。

Lukia
$$\Large \frac{20}{100}\times x=\frac{12}{100}\times \left( x+80\right) ・・・①$$
$$\Large y=\frac{20}{100}\times x ・・・②$$
式①の両辺の分母の100をはらって、
$$\Large 20x=12\left( x+80\right)$$
$$\Large \left( 20-12\right)x=12\times 80$$
両辺を8でわって、
$$\Large x=12\times 10$$
この値を式②に代入して、
$$\Large y=\frac{20}{100}\times 120$$
$$\Large y=24$$
こんなやり方もあります。

Lukia
①に代入することもできますね。
その計算方法も示してみます。
$$\Large \frac{20}{100}\times x=\frac{12}{100}\times \left( x+80\right) ・・・①$$
$$\Large y=\frac{20}{100}\times x ・・・②$$

Lukia
\(\Large \frac{100}{20}\) をかけます。
$$\Large \frac{100}{20}\times y=\frac{100}{20}\times \frac{20}{100}x$$
$$\Large x=5y$$
これを式①に代入します。
$$\Large \frac{20}{100}\times 5y=\frac{12}{100}\times \left( 5y+80\right) $$
両辺の分母の100をはらって、
$$\Large 20\times 5y=12\left( 5y+80\right)$$
$$\Large \left( 20-12\right)\times 5y=12\times 80$$
両辺を40でわって、
$$\Large y=24$$

もも
②の式を先に変形してから、①の式に代入してもいいんですね。

Lukia
というわけで、こたえは、24gとなります。
こたえ

Lukia
最後の答えが間違わないように誘導しました。
これが自力でできたら、なかなかの実力者といえますね。
24g
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