中学数学の食塩水に「水」を混ぜる問題(その3)

2018年7月6日中学数学Yahoo!知恵袋, 「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検3級

読了時間: 約46
Left Caption

Lukia

さぁ、早くも「食塩水に『水』を混ぜ合わせる問題」も最終回となってしまいました。
さっそく以下の問題を解いてみましょう。
解けたら、スクロールして、答え合わせをしてみてくださいね。

問題



表に書き込む。

Right Caption

もも

表を描くのはいつもどおりですね。
横長の線を3本と、それを4等分できるように、
縦の線を3本引きます。
Left Caption

Lukia

ももちゃんは、以下のような表を描いています。

Right Caption

もも

次に表の中に、数字や文字を書き込んでいきます。
まず、①は20、
②が80・・・
Right Caption

もも

いや、「80gの水を加えた」とあるから、
④が80 になるんだ!
Left Caption

Lukia

おっ、よく読めましたね。
ということは、③は、何ですか?
Right Caption

もも

③は、水が「0%食塩水」であることから、
0 が入ります。
Right Caption

もも

ということは、②をひとまず \(\Large x\) としておいてもいいですか?
Left Caption

Lukia

そうですね。
ということは、全体の重さの段は、「横はたし算」をしますから、
②+④=⑥となり、
⑥は、\(\Large x+80\) となりますね。
Right Caption

もも

では、できあがりの食塩水の濃度が12%ということなので、
⑤が12となります。

%を百分率に直しておく。

Left Caption

Lukia

①から⑥がうまったので、まずは%を百分率に直してください。
Right Caption

もも

はい。
左から、
\(\Large \frac{20}{100}\) ・ \(\Large \frac{0}{100}\) ・ \(\Large \frac{12}{100}\) です。

縦はかけ算・横はたし算

Left Caption

Lukia

では、それぞれの縦の列について、「縦はかけ算」をして、
表の一番下の段のマスをうめていきましょう。
Right Caption

もも

20%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{20}{100}\times x\) となります。
Left Caption

Lukia

ちなみに、今回求めるのは、何ですか?
Right Caption

もも

ええっと・・・
あっ、「はじめ20%の食塩水に溶けていた食塩の重さ」です。
Left Caption

Lukia

ということは、全体の重さ \(\Large x\) を求めるだけではダメ。ということですね。
求める食塩の重さを \(\Large y\) とおくと、
20%の食塩水の列は、別の表現ができますね。
Right Caption

もも

別の表現・・・
20%の食塩水の列の一番下のマスは、
\(\Large \frac{20}{100}\times x\) でもあり、
\(\Large y\) でもあるから・・・
Right Caption

もも

あっ!
\(\Large y=\frac{20}{100}\times x\) だ!
Left Caption

Lukia

御明察です♪
これが後で効いてきますよ~。
Right Caption

もも

へ~。じゃ、次に進んで、
水、つまり、「0%食塩水」の列は、
\(\Large \frac{0}{100}\times 80\) となるので、
一番下の段のマスには、\(\Large 0\) を書き込みます。
Right Caption

もも

12%の食塩水の列は、
\(\Large \frac{12}{100}\times \left( x+80\right)\) となります。

一番下の段の「たし算」をする。

Left Caption

Lukia

今回も順調ですね。
それでは、一番下の段の「横はたし算」をして、式を立ててください。
Right Caption

もも

はい。
式は、 \(\Large \frac{20}{100}\times x+0=\frac{12}{100}\times \left( x+80\right)\)
すなわち、
\(\Large \frac{20}{100}\times x=\frac{12}{100}\times \left( x+80\right)\) となります。
Left Caption

Lukia

そうですね。それでは、計算については、ふきだしからはずして行うことにしましょう。

$$\Large \frac{20}{100}\times x=\frac{12}{100}\times \left( x+80\right) ・・・①$$
$$\Large y=\frac{20}{100}\times x ・・・②$$
式①の両辺の分母の100をはらって、
$$\Large 20x=12\left( x+80\right)$$
$$\Large \left( 20-12\right)x=12\times 80$$
両辺を8でわって、
$$\Large x=12\times 10$$
この値を式②に代入して、
$$\Large y=\frac{20}{100}\times 120$$
$$\Large y=24$$

こんなやり方もあります。

Left Caption

Lukia

せっかく、②の式も立てたのですから、先にこれを変形して、
①に代入することもできますね。
その計算方法も示してみます。

$$\Large \frac{20}{100}\times x=\frac{12}{100}\times \left( x+80\right) ・・・①$$
$$\Large y=\frac{20}{100}\times x ・・・②$$

Left Caption

Lukia

式②の両辺に逆数、すなわち、
\(\Large \frac{100}{20}\) をかけます。

$$\Large \frac{100}{20}\times y=\frac{100}{20}\times \frac{20}{100}x$$
$$\Large x=5y$$
これを式①に代入します。
$$\Large \frac{20}{100}\times 5y=\frac{12}{100}\times \left( 5y+80\right) $$
両辺の分母の100をはらって、
$$\Large 20\times 5y=12\left( 5y+80\right)$$
$$\Large \left( 20-12\right)\times 5y=12\times 80$$
両辺を40でわって、
$$\Large y=24$$

Right Caption

もも

なるほど、①の式を計算しておいてから、②の式に代入してもいいし、
②の式を先に変形してから、①の式に代入してもいいんですね。
Left Caption

Lukia

そうです。
というわけで、こたえは、24gとなります。

おわりに

Left Caption

Lukia

今回は、ももちゃんが「縦はかけ算」をしているときに、文字 \(\Large y\) を登場させて、
最後の答えが間違わないように誘導しました。
これが自力でできたら、なかなかの実力者といえますね。
それでは、再度問題とこたえを載せておわりにしましょう。

カテゴリー