高校数学の「正弦定理・余弦定理・四面体の体積」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準2級

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問題

\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)において、 \( \ \mathrm{AB}=5 \ \)、 \( \ \mathrm{AC}=7 \ \)、\( \ \cos \angle \mathrm{BAC}= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{7}\)である。
(1)辺\( \ \mathrm{BC} \ \)の長さを求めよ。

(2)平面上\( \ \mathrm{ABC} \ \)にない点\( \ \mathrm{D} \ \)をとり、四面体\( \ \mathrm{ABCD} \ \)をつくる。
\( \ \sin \angle \mathrm{ADC}= \ \)\(\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{7}\)、 \( \ \cos \angle \mathrm{CAD}=- \ \)\(\displaystyle\frac{1}{7}\)のとき、
辺\( \ \mathrm{CD} \ \)および辺\( \ \mathrm{AD} \ \)の長さを求めよ。

(3)(2)において、\( \ \mathrm{BC}=\mathrm{BD} \ \)であるとき、
四面体\( \ \mathrm{ABCD} \ \)の体積を求めよ。

解法(1)・(2)

(1)を解く。(余弦定理で辺の大きさを求める)

\( \ \mathrm{BC}=a \ \)とする。 ただし、\( \ a \gt 0 \ \) である。
また、\( \ \mathrm{AC}=b=7 \ \), \( \ \mathrm{AB}=c=5 \ \) とする。
余弦定理より
$$\begin{align}\cos \angle \mathrm{BAC}=&\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc} \\\\ \displaystyle\frac{1}{7}=&\displaystyle\frac{49+25-a^2}{2\cdot 7\cdot 5} \\\\ 10=&-a^2+74\\\\ a^2=&64\\\\ a \gt &0\quad より\\\\ a=&8 \end{align}$$

(2)を解く。(正弦定理・余弦定理で辺の大きさを求める)

$$\begin{align}\sin \angle \mathrm{CAD}=&\sqrt{1-\left( \cos \angle \mathrm{CAD}\right)^2} \\\\ =&\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{49}} \\\\ =&\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{7} \end{align}$$ 正弦定理より
$$\begin{align}\displaystyle\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle \mathrm{ADC}}=&\displaystyle\frac{\mathrm{CD}}{\sin \angle \mathrm{CAD}} \\\\ \mathrm{CD}=&7\cdot \displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{7}\cdot \displaystyle\frac{7}{\sqrt{21}} \\\\ =&4\sqrt{7} \end{align}$$
余弦定理より
$$\begin{align}\cos \angle \mathrm{CAD}=&\displaystyle\frac{\mathrm{AD}^2+\mathrm{AC}^2-\mathrm{CD}^2}{2\cdot \mathrm{AD}\cdot \mathrm{AC}} \\\\ -\displaystyle\frac{1}{7}=&\displaystyle\frac{\mathrm{AD}^2+49-16\times 7}{2\cdot \mathrm{AD}\cdot 7} \\\\ -2\mathrm{AD}=&\mathrm{AD}^2+7\left( 7-16\right) \end{align}$$ $$\begin{align}\mathrm{AD}^2+2\mathrm{AD}-7\times 9=&0 \\\\ \left( \mathrm{AD}+9\right)\left( \mathrm{AD}-7\right)=&0 \\\\ \mathrm{AD} \gt &0\quad より\\\\ \mathrm{AD}=&7 \end{align}$$

解法(3)

四面体の底面となる三角形を決める

四面体 \( \ \mathrm{ABCD} \ \) の体積を \( \ \mathrm{V} \ \) とする。
これを求めるにあたり、底面を \( \ \triangle \mathrm{ACD} \ \) とし、
頂点 \( \ \mathrm{B} \ \) から底面におろした垂線の長さを高さとする。

いま、\( \ \triangle \mathrm{BCD} \ \)と\( \ \triangle \mathrm{ACD} \ \)はそれぞれ\( \ \mathrm{BC}=\mathrm{BD} \ \) , \( \ \mathrm{AC}=\mathrm{AD} \ \) の二等辺三角形である。
二等辺三角形の頂角の二等分線は、その底辺を垂直に二等分する。

\( \ \angle \mathrm{DBC} \ \)の二等分線と辺\( \ \mathrm{CD} \ \)の交点を\( \ \mathrm{M} \ \)とする。
$$\begin{align}\mathrm{BM}=&\sqrt{\mathrm{BC}^2-\mathrm{CM}^2} \\\\ =&\sqrt{64-28} \\\\ =&6 \end{align}$$ \( \ \angle \mathrm{DAC} \ \)の二等分線と辺\( \ \mathrm{CD} \ \)の交点を\( \ \mathrm{M} \ \)とする。
$$\begin{align}\mathrm{AM}=&\sqrt{\mathrm{AC}^2-\mathrm{CM}^2} \\\\ =&\sqrt{49-28} \\\\ =&\sqrt{21} \end{align}$$
\( \ \triangle \mathrm{ABM} \ \)において点 \( \ \mathrm{B} \ \) から辺 \( \ \mathrm{AM} \ \) におろした垂線の足を点 \( \ \mathrm{H} \ \) とする。
\( \ \triangle \mathrm{ABM} \ \)の面積を\( \ \mathrm{S} \ \)とする。
ヘロンの公式より
$$\begin{align}\mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{\left( 5+6+\sqrt{21}\right)\left( 5+6-\sqrt{21}\right)\left( 6+\sqrt{21}-5\right)\left( \sqrt{21}+5-6\right)} \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{\left( 11+\sqrt{21}\right)\left( 11-\sqrt{21}\right)\left( \sqrt{21}+1\right)\left( \sqrt{21}-1\right)} \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{\left( 121-21\right)\left( 21-1\right)}\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{4}\cdot 10\cdot 2\sqrt{5}\\\\ =&5\sqrt{5} \end{align}$$ また
$$\begin{align}\mathrm{S}=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{AM}\cdot \mathrm{BH}&\quad より \\\\ \displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{AM}\cdot \mathrm{BH}=&5\sqrt{5} \\\\ \mathrm{BH}=&\displaystyle\frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{21}} \end{align}$$
Lukia_74
Lukia
かなり計算が大変ですね。
高校数学の場合、最終的にはシンプルな値になることがほとんどなので、
それを想定して、あえて有理化をしていません。
Lukia_74
Lukia
また、ヘロンの公式は、カスタマイズしたものを用いました。

$$\begin{align}\mathrm{V}=&\displaystyle\frac{1}{3}\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ACD}}\cdot \mathrm{BH} \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{1}{2}\times 7\times 4\sqrt{7}\times \displaystyle\frac{\sqrt{21}}{7}\times \displaystyle\frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{21}} \\\\ =&\displaystyle\frac{20\sqrt{35}}{3} \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\mathrm{BC}=&8 \\\\ \mathrm{CD}=&4\sqrt{7} \\\\ \mathrm{AD}=&7\\\\ \mathrm{V}=&\displaystyle\frac{20\sqrt{35}}{3} \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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