高校数学の「3種の硬貨で1万円を表現する」問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

整数の性質

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「3種の硬貨で1万円を表現する」問題を解いてみました。

問題

10円硬貨、100円硬貨および500円硬貨が合わせて100枚あり、その合計金額が1万円であるとき、100円硬貨の枚数を求めよ。 ただし、100円硬貨の枚数は10円硬貨の枚数より少ない。

解法

100円硬貨の枚数を\( \ x \ \)枚とし、
10円硬貨の枚数を\( \ 10y \ \)枚とする。

500円硬貨の枚数は、\( \ \left( 100-10y-x\right) \ \)枚と表せる。

また、3種の硬貨の枚数の合計が100であることから、
\( \ 1 \leqq y \leqq 9\quad \cdots \ \rm{①} \ \)

さらに、100円硬貨の枚数は、10円硬貨の枚数よりも少ないことから、
\( \ 10y \gt x\quad \cdots \ \rm{②} \ \)を満たす必要がある。

3種の硬貨を用いて1万円を表す。
$$\begin{align}100x+500\left( 100-10y-x\right)=&10000-10\times 10y \\\\ 100x+50000-5000y-500x=&10000-100y \\\\ 両辺を&100で割って\\\\ x+500-50y-5x=&100-y\\\\ -4x-49y=&-400\\\\ 4x+49y=&400 \end{align}$$
一次不定方程式を解く。 \( \ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = 49k-4800 \\ y = -4k+400 \end{array} \right. \end{eqnarray} \ \) (ただし、\( \ k \ \) は整数.)

①より
$$\begin{align}1 \leqq &-4k+400 \leqq 9 \\\\ -391 \leqq &-4k \leqq -391 \\\\ 97.75 \leqq &k \leqq 99.75\quad \cdots \ \rm{③} \end{align}$$ ②より
$$\begin{align}10\left( -4k+400\right) \gt &49k-4800 \\\\ -40k+4000 \gt &49k-4800 \\\\ 8800 \gt &89k\\\\ 98.88 \gt &k\quad \cdots\cdots \ ④ \end{align}$$ ③と④より
\( \ 99.75 \lt k \lt 98.89 \ \) を満たす整数 \( \ k \ \) は
$$\begin{align}x=&49\times 98-4800 \\\\ =&2 \end{align}$$

検算してみる

\( \ k=98 \ \)のとき、\( \ x=2 \ \) , \( \ y=8 \ \)となります。
$$\begin{align}\rm{与式}=&10\times 10y+100\times x+500\times \left( 100-10y-x\right)\\\\ =&10\times \left( 10\times 8\right)+100\times 2+500\times \left( 100-10\times 8-2\right) \\\\ =&10\times 80+100\times 2+500\times 18 \\\\ =&800+200+9000\\\\ =&10000 \end{align}$$

こたえ

\( \ 2 \ \)枚

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74