高校数学の「絶対値がらみの放物線と動く定義域」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

2022年9月10日二次関数

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「絶対値がらみの放物線と動く定義域」に関する問題を解いてみました。

問題

曲線 y=|x2−4x| について、定義域が a≦x≦a+2 であるときの最小値を求めよ。

解法

 y=f(x)  とする。
曲線 f(x)=|x2−4x| のグラフは以下の図のとおり。

①  a+2<0 
すなわち、 a<−2  のとき
定義域は、左図の青い範囲

最小値は、 f(a+2)=a2−4 
②  4<a  のとき
定義域は、左図の赤い範囲

最小値は、 f(a)=a2−4a 
③  −2≦a≦0  のとき、
定義域は、左図の青い範囲

最小値は、 f(0)=0 
④  2≦a≦4  のとき、
定義域は、左図の赤い範囲

最小値は、 f(4)=0 
Lukia_74
Lukia
定義域が薄い青（または赤）と濃い青（または赤）に塗りつぶされていますが、
左端が右に1移動すると、右端も同様に右に1移動することを表しています。
しかし、その定義域には、かならず x=0 (青い定義域の場合）または、 x=4 (赤い定義域の場合）が含まれていますので、最小値は f(0)=0  または  f(4)=0 になるのです。
⑤  0<a<1  のとき、
定義域は、左図の青い範囲

最小値は、 f(a)=−a2+4a 
⑥  1<a<2  のとき、
定義域は、左図の赤い範囲

最小値は、 f(a+2)=−a2+4 
Lukia_74
Lukia
⑤と⑥については、定義域の中間である x=a+1 と軸との位置関係を意識します。
軸から離れている端点のほうが最小値になっていますね。
⑦  a+1=2 
すなわち、 a=1  のとき

最小値は、 f(1)=f(3)=3 
Lukia_74
Lukia
定義域の中間である x=a+1 が、軸とぴったり重なったとき、定義域の両端点が最小値となります。

以上より最小値は
{a2−4a<−2のとき0−2≦a≦0 , 2≦a≦4のとき−a2+4a0<a<1のとき3a=1のとき−a2+41<a<2のときa2−4a4<aのとき

こたえ

{a2−4a<−2のとき0−2≦a≦0 , 2≦a≦4のとき−a2+4a0<a<1のとき3a=1のとき−a2+41<a<2のときa2−4a4<aのとき


 

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74