高校数学の「ちょっと難しそうな合同式」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
2022年7月17日整数の性質

読了時間: 約1分3秒
Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「ちょっと難しそうな合同式」に関する問題を解いてみました。
問題
\( \ m \ \)は\( \ 7 \ \)で割れば\( \ 3 \ \)余る整数で、\( \ n \ \)は\( \ 7 \ \)で割れば\( \ 4 \ \)余る整数とする。このとき、
1) \( \ m+2n \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは(ア)である。
2) \( \ mn \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは(イ)である。
3) \( \ n^3 \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは(ウ)である。
4) \( \ n^{2001} \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは(エ)である。
1) \( \ m+2n \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは(ア)である。
2) \( \ mn \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは(イ)である。
3) \( \ n^3 \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは(ウ)である。
4) \( \ n^{2001} \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは(エ)である。
解法
1) \( \ {m+2n} \equiv {3+8} \equiv {11} \equiv {4} \pmod {7} \ \)2) \( \ {mn} \equiv {3\times 4} \equiv {12} \equiv {5} \pmod {7} \ \)
3) \( \ {n^3} \equiv {4^3} \equiv {64} \equiv {1} \pmod {7} \ \)
4) \( \ {n^{2001}} \equiv {n^{3\times 667}} \equiv {1^{667}} \equiv {1} \pmod {7} \ \)
こたえ
ア)\( \ 4 \ \)イ)\( \ 5 \ \)
ウ)\( \ 1 \ \)
エ)\( \ 1 \ \)
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