高校数学の「間が持たないならつないじゃえ！の漸化式その2」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「間が持たないならつないじゃえ！の漸化式その2」に関する問題を解いてみました。
問題
\( \ \left( n+1\right)a_{n+1}=na_n+1 \ \) で表される数列の一般項\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)を求めよ。
解法
$$\begin{align}\left( n+2\right)\left( a_{n+1}-\alpha\right)=&n\left( a_n-\alpha\right) \\\\ \left( n+2\right)\alpha-n\alpha=&1 \\\\ \alpha=&\frac{1}{2}\\\\ \left( n+2\right)\left( a_{n+1}-\frac{1}{2}\right)=&n\left( a_n-\frac{1}{2}\right) \end{align}$$$$\begin{align}\rm{両辺に}&\left( n+1\right)\rm{をかける} \\\\ \left( n+2\right)\left( n+1\right)\left( a_{n+1}-\frac{1}{2}\right)=&\left( n+1\right)n\left( a_n-\frac{1}{2}\right) \\\\ \rm{ここで} \ b_n=&n\left( a_n-\frac{1}{2}\right) \ \cdots \ \rm{①とする。} \\\\ 特に \ b_1=&a_1-\frac{1}{2}\\\\ \\\\ \left( n+2\right)b_{n+1}=&\left( n+1\right)b_n\\\\ \rm{さらに} \ c_n=\left( n+1\right)b_n \ \cdots \ \rm{②とする。}\\\\ \rm{特に} \ c_1=&2b_1\\\\ \\\\ c_{n+1}=&c_n\\\\ \rm{ゆえに} \ c_n=&c_1\end{align}$$
$$\begin{align}\rm{②より}&\\\\ b_n=&\frac{c_n}{n+1}=\frac{c_1}{n+1} \\\\ =&\frac{2b_1}{n+1} \end{align}$$ $$\begin{align}\rm{①より}&\\\\ b_n=\frac{2b_1}{n+1}=&n\left( a_n-\frac{1}{2}\right) \\\\ a_n-\frac{1}{2}=&\frac{2b_1}{n\left( n+1\right)} \\\\ a_n=&\frac{2b_1}{n\left( n+1\right)}+\frac{1}{2}\\\\ =&\frac{2\left( a_1-\frac{1}{2}\right)}{n\left( n+1\right)} +\frac{1}{2}\\\\ =&\frac{2a_1-1}{n\left( n+1\right)}+\frac{1}{2}\end{align}$$
こたえ
$$a_n=\frac{2a_1-1}{n\left( n+1\right)}+\frac{1}{2}$$共有:
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