高校数学の「軸が移動する放物線の最大値」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「軸が移動する放物線の最大値」に関する問題を解いてみました。

問題

二次関数\( \ y=x^2+ax+b \ \) が \( \ 0 \leqq x \leqq 3 \ \) の範囲で最大値 \( \ 1 \ \) をとり、\( \ 0 \leqq x \leqq 6 \ \) の範囲で最大値 \( \ 9 \ \) をとるとき定数 \( \ a \ \), \( \ b \ \) の値を求めよ。

解法

\( \ y=x^2+ax+b \ \) を変形して、軸と頂点を求める。
\( \ y=\left( x+\displaystyle\frac{1}{2}a\right)^2-\displaystyle\frac{a^2}{4}+b \ \)
軸は\( \ x=-\displaystyle\frac{a}{2} \ \) , 頂点の座標は \( \ \left( -\displaystyle\frac{a}{2} \ , \ -\displaystyle\frac{a^2}{4}+b\right) \ \)

以下、軸と定義域との位置関係をもとに最大値を求めていく。

定義域が0以上3以下のとき

1) \( \ 3 \lt -\displaystyle\frac{1}{2}a \ \)
すなわち、\( \ -6 \gt a \ \)のとき、
最大値は\( \ f\left( 0\right)=b=1 \ \)
2) \( \ \displaystyle\frac{3}{2} \lt -\displaystyle\frac{1}{2}a \lt 3 \ \)
すなわち、\( \ -6 \lt a \lt -3 \ \) のとき、
最大値は\( \ f\left( 0\right)=b=1 \ \)
3) \( \ \displaystyle\frac{3}{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}a \ \)
すなわち \( \ a=-3 \ \) のとき、
最大値は \( \ f\left( 0\right)=b=1 \ \)
4) \( \ 0 \lt -\displaystyle\frac{1}{2}a \lt \displaystyle\frac{3}{2} \ \)
すなわち、\( \ -3 \lt a \lt 0 \ \)のとき、
最大値は\( \ f\left( 3\right)=3a+b=-8 \ \)
5) \( \ -\displaystyle\frac{1}{2}a \lt 0 \ \)
すなわち、\( \ a \gt 0 \ \) のとき、
最大値は、\( \ f\left( 3\right)=3a+b=-8 \ \)

定義域が0以上6以下のとき

1) \( \ 6 \lt -\displaystyle\frac{1}{2}a \ \)
すなわち、\( \ -12 \gt a \ \)のとき、
最大値は\( \ f\left( 0\right)=b=9 \ \)
2) \( \ 3 \lt -\displaystyle\frac{1}{2}a \lt 6 \ \)
すなわち、\( \ -12 \lt a \lt -6 \ \) のとき、
最大値は\( \ f\left( 0\right)=b=9 \ \)
3) \( \ 3=-\displaystyle\frac{1}{2}a \ \)
すなわち \( \ a=-6 \ \) のとき、
最大値は \( \ f\left( 0\right)=b=9 \ \)
4) \( \ 0 \lt -\displaystyle\frac{1}{2}a \lt 3 \ \)
すなわち、\( \ -6 \lt a \lt 0 \ \)のとき、
最大値は\( \ f\left( 6\right)=6a+b=-27 \ \)
5) \( \ -\displaystyle\frac{1}{2}a \lt 0 \ \)
すなわち、\( \ a \gt 0 \ \) のとき、
最大値は、\( \ f\left( 6\right)=6a+b=-27 \ \)
まとめると
\( \ 3 \lt a \ \) のとき、 \( \ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a + b = -8 \\ 6a + b = 27 \end{array} \right. \end{eqnarray} \ \)

この連立方程式を解いて、 \( \ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a=-\displaystyle\frac{19}{3} \\ b = 11 \end{array} \right. \end{eqnarray} \ \)

こたえ

\( \ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a=-\displaystyle\frac{19}{3} \\ b = 11 \end{array} \right. \end{eqnarray} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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