高校数学の「間が持たないならつないじゃえ！の漸化式」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「間が持たないならつないじゃえ！の漸化式」に関する問題を解いてみました。
問題
\( \ \left( n+2\right)a_{n+1}=na_n \ \)で表される数列の一般項\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)を示せ。
解法
カッコ内の\( \ n+2 \ \)が\( \ n+1 \ \)であってくれたら、隣りあってていいのになぁ。と思うのが解法のヒントになるようです。隣り合うように\( \ n+1 \ \)を両辺にかけたらうまくいきそうですよね。
\( \ \left( n+2\right)\left( n+1\right)a_{n+1}=\left( n+1\right)na_n \ \)
ここで、\( \ na_n=b_n \ \) とする。特に、\( \ b_1=a_1 \ \)
\( \ \left( n+1\right)b_{n+1}=\left( n+1\right)b_n \ \)
さらに \( \ \left( n+1\right)b_n=c_n \ \) とする。
\( \ c_{n+1}=c_n \ \) ゆえに \( \ c_n=c_1 \ \)
\( \ 2b_1=c_1 \ \)
\( \ b_n=\displaystyle\frac{c_n}{n+1}=\displaystyle\frac{c_1}{n+1}=\displaystyle\frac{2b_1}{n+1} \ \)
\( \ a_n=\displaystyle\frac{b_n}{n}=\displaystyle\frac{1}{n}\times \displaystyle\frac{2b_1}{n+1}=\displaystyle\frac{2b_1}{n\left( n+1\right)} \ \)
ここで、\( \ a_1=b_1 \ \)より
\( \ a_n=\displaystyle\frac{2a_1}{n\left( n+1\right)} \ \)
こたえ
\( \ a_n=\displaystyle\frac{2a_1}{n\left( n+1\right)} \ \)プロフィール
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