高校数学の「間が持たないならつないじゃえ!の漸化式」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「間が持たないならつないじゃえ!の漸化式」に関する問題を解いてみました。

問題
\( \ \left( n+2\right)a_{n+1}=na_n \ \)で表される数列の一般項\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)を示せ。 

解法

Lukia_74
Lukia
カッコ内の\( \ n+2 \ \)が\( \ n+1 \ \)であってくれたら、隣りあってていいのになぁ。と思うのが解法のヒントになるようです。隣り合うように\( \ n+1 \ \)を両辺にかけたらうまくいきそうですよね。
両辺に\( \ \left( n+1\right) \ \) をかける。

\( \ \left( n+2\right)\left( n+1\right)a_{n+1}=\left( n+1\right)na_n \ \)


ここで、\( \ na_n=b_n \ \) とする。特に、\( \ b_1=a_1 \ \)

\( \ \left( n+1\right)b_{n+1}=\left( n+1\right)b_n \ \)


さらに \( \ \left( n+1\right)b_n=c_n \ \) とする。

\( \ c_{n+1}=c_n \ \) ゆえに \( \ c_n=c_1 \ \)

\( \ 2b_1=c_1 \ \)

\( \ b_n=\displaystyle\frac{c_n}{n+1}=\displaystyle\frac{c_1}{n+1}=\displaystyle\frac{2b_1}{n+1} \ \)

\( \ a_n=\displaystyle\frac{b_n}{n}=\displaystyle\frac{1}{n}\times \displaystyle\frac{2b_1}{n+1}=\displaystyle\frac{2b_1}{n\left( n+1\right)} \ \)

ここで、\( \ a_1=b_1 \ \)より

\( \ a_n=\displaystyle\frac{2a_1}{n\left( n+1\right)} \ \)

こたえ

\( \ a_n=\displaystyle\frac{2a_1}{n\left( n+1\right)} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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