実数解をもとに定数を求める
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問題
放物線\( \ y=x^2+6x+5 \ \)と直線\( \ y=2x+k \ \)が異なる2点\( \ \mathrm{A},\mathrm{B} \ \)で交わり、線分\( \ \mathrm{AB} \ \)の長さが\( \ 2\sqrt{2} \ \)であるとき、定数\( \ k \ \)の値は\( \ \displaystyle\frac{\rm{ア}}{\rm{イ}} \ \)である。（東邦大学医学部 2015年）
解法
放物線と直線は2つの交点を持つから、$$\begin{align}x^2+6x+5=&2x+k \\\\ x^2+4x+5-k=&0\quad \cdots \ \rm{①} \end{align}$$ ①で求まる2つの実数解の値をそれぞれ\( \ \alpha,\beta \ \)とする。
これにより2点はそれぞれ \( \ \mathrm{A}\left( \alpha,2\alpha+k\right) \ ,\mathrm{B}\left( \beta,2\beta+k\right)\ \)と表せる。
$$\begin{align}\left( x-\alpha\right)\left( x-\beta\right)=&0 \\\\ x^2-\left( \alpha+\beta\right)+\alpha\beta=&0 \\\\ \rm{①と}&\rm{比較して }\\\\ \alpha+\beta=&-4\\\\ \alpha\beta=&5-k\end{align}$$ 線分\( \ \mathrm{AB} \ \)の長さが\( \ 2\sqrt{2} \ \)であることより
$$\begin{align}\mathrm{AB}^2=\left( \beta-\alpha\right)^2+\left( 2\beta+k-2\alpha-k\right)^2=&8 \\\\ 5\left( \beta-\alpha\right)^2=&8 \\\\ 5\lbrace \left( \alpha+\beta\right)^2-4\alpha\beta\rbrace=&8\\\\ 5\lbrace 16-4\left( 5-k\right)\rbrace=&8\\\\ 5\left( -4+4k\right)=&8\\\\ -1+k=&\frac{2}{5}\\\\ k=&\frac{7}{5} \end{align}$$
こたえ
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