【 12 / 12 】高校数学の「平面ベクトルの点Pの存在範囲」に関する問題を解いてみる。

ベクトル実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題

\( \ \triangle \mathrm{OAB} \ \)が、
\( \ \vert \mathrm{OA} \vert=5 \ \) , \( \ \vert \mathrm{OB} \vert=6 \ \) , \( \ \vert \mathrm{AB} \vert=7 \ \) を満たす三角形であり、
 点\( \ \mathrm{P} \ \)が
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \)
と \( \ s \geqq 0 \ , \ t \geqq 0 \ , \ 1 \leqq 2s+t \leqq 2 \ , \ s+3t \leqq 3 \ \)を満たしながら動くとき、
点\( \ \mathrm{P} \ \)の存在範囲の面積を求めよ。
( ただし\( \ s \ \) , \( \ t \ \) はともに実数とする )

解法

まずは、\( \ st \ \)平面上で点Pの存在範囲を求めます。
\( \ s \ \)と\( \ t \ \)の条件より
\( \ s \geqq 0 \ \)
\( \ t \geqq 0 \ \)
\( \ t \leqq 2-2s \ \)
\( \ t \geqq 1-2s \ \)
\( \ t \leqq 1- \ \)\(\displaystyle\frac{1}{3}s\)

求める領域は、図の赤斜線部(境界を含む)
「平面ベクトルの点Pの存在範囲−12」のグラフ
この赤斜線部を四角形\( \ \mathrm{AQBR} \ \)とする。
点\( \ \mathrm{Q} \ \)は、\( \ \left( s \ , \ t\right)= \ \)\(\Large \left( \displaystyle\frac{3}{5} \ , \ \displaystyle\frac{4}{5}\right)\)
点\( \ \mathrm{R} \ \)は、\( \ \left( s \ , \ t\right)= \ \)\(\Large \left( \displaystyle\frac{1}{2} \ , \ 0\right)\)である。

三角形\( \ \mathrm{OA’B’} \ \)における四角形\( \ \mathrm{AQBR} \ \)の面積比を求める。
「平面ベクトルの点Pの存在範囲−12」のグラフ
$$\begin{align}\triangle \mathrm{OAB’}=&\displaystyle\frac{1}{3}\triangle \mathrm{OA’B’} \\\\ \\\\ 四角形\mathrm{AQBR}=&\triangle \mathrm{OAB’}-\triangle \mathrm{BQB’}-\triangle \mathrm{ORB} \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\times 1\times 2-\displaystyle\frac{1}{2}\times 1\times \left( \displaystyle\frac{3}{5}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\\\\ =&\displaystyle\frac{9}{10}\triangle \mathrm{OAB’} \\\\ =&\displaystyle\frac{9}{10}\times \displaystyle\frac{1}{3}\triangle \mathrm{OA’B’}\\\\ =&\displaystyle\frac{3}{10}\triangle \mathrm{OA’B’} \end{align}$$
\( \ \triangle \mathrm{OAB} \ \)において\( \ \theta=\angle \mathrm{AOB} \ \)とする。
「平面ベクトルの点Pの存在範囲−12」の三角形OABの図
余弦定理より
$$\begin{align}\cos \theta=&\displaystyle\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 6} \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{5} \\\\ \\\\ \sin \theta=&\sqrt{1-\cos^{2} \theta}\\\\ =&\displaystyle\frac{2\sqrt{6}}{5} \end{align}$$

\( \ \triangle \mathrm{OA’B’} \ \)の面積\( \ \mathrm{S} \ \)を求める
\( \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OA’}} \vert=3\vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert=15 \ \),
\( \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OB’}} \vert=2\vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert=12 \ \) より

$$\begin{align}\mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 12\cdot \displaystyle\frac{2\sqrt{6}}{5}\\\\ =&36\sqrt{6} \\\\ \\\\ 四角形\mathrm{AQBR}=&\displaystyle\frac{3}{10}\cdot 36\sqrt{6}\\\\ =&\displaystyle\frac{51\sqrt{6}}{5} \end{align}$$

こたえ

\(\displaystyle\frac{51\sqrt{6}}{5} \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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