高校数学の「三角比」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 三角比 , 二重根号 , 数学検定準2級

問題

problem

\( \ \tan \theta=2+\sqrt{3}\quad \left( \ 0 \leqq \theta \leqq \pi \ \right) \ \) のとき
\( \ \cos \theta=\frac{\color{#0004fc}{ア}}{\color{#0004fc}{イ}}\left( \sqrt{\color{#0004fc}{ウ}}-\sqrt{\color{#0004fc}{エ}}\right) \ \) である。

$$\begin{align}\tan \theta=&2+\sqrt{3} \gt 0 \ より \\ \theta&は第一象限にあり,\quad 0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\quad である. \\ 1+\tan^{2} \theta=&1+\left( 2+\sqrt{3}\right)^2\\ =&8+4\sqrt{3}\\ =&8+2\sqrt{12}=\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
$$\begin{align}\frac{1}{\cos^{2} \theta}=&8+2\sqrt{12} \\ \\ \cos \theta \gt &0\quad より \\ \\ \frac{1}{\cos \theta}=&\sqrt{8+2\sqrt{12}}\\ \\ =&\sqrt{6}+\sqrt{2}\\ \\ \cos \theta=&\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\ \\ =&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6-2}\\ \\ =&\frac{\color{#0004fc}{1}}{\color{#0004fc}{4}}\left( \sqrt{\color{#0004fc}{6}}-\sqrt{\color{#0004fc}{2}}\right) \end{align}$$

こたえ


$$\cos \theta=\frac{1}{4}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$$

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