高校数学の「三角比」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年2月1日図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

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問題
\( \ \tan \theta=2+\sqrt{3}\quad \left( \ 0 \leq \theta \leq \pi \ \right) \ \) のとき
\( \ \cos \theta=\frac{\color{#0004fc}{ア}}{\color{#0004fc}{イ}}\left( \sqrt{\color{#0004fc}{ウ}}-\sqrt{\color{#0004fc}{エ}}\right) \ \) である。

$$\begin{align}\tan \theta=&2+\sqrt{3} \gt 0 \ より \\\\ \theta&は第一象限にあり,\quad 0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\quad である. \\\\ 1+\tan^{2} \theta=&1+\left( 2+\sqrt{3}\right)^2\\\\ =&8+4\sqrt{3}\\\\ =&8+2\sqrt{12}=\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
$$\begin{align}\frac{1}{\cos^{2} \theta}=&8+2\sqrt{12} \\\\ \cos \theta \gt &0\quad より \\\\ \frac{1}{\cos \theta}=&\sqrt{8+2\sqrt{12}}\\\\ =&\sqrt{6}+\sqrt{2}\\\\ \cos \theta=&\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\\\ =&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6-2}\\\\ =&\frac{\color{#0004fc}{1}}{\color{#0004fc}{4}}\left( \sqrt{\color{#0004fc}{6}}-\sqrt{\color{#0004fc}{2}}\right) \end{align}$$

こたえ

$$\cos \theta=\frac{1}{4}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2019年2月1日図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

Posted by Lukia_74