中学数学の2種類の濃度の食塩水を混ぜる問題(その9)

2018年6月29日中学数学Yahoo!知恵袋, 「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検3級

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Lukia

2種類の濃度の食塩水を混ぜ合わせる問題も、一応今回が最後となります。
次回からはまた別のパターンの問題を解いていきます。
仕上げがてら、問題を解いてみてくださいね。
それでは、さっそく問題を載せてみます。
いったんスクロールの手を止めて、解いてみてください。

問題




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もも

問題文を読んでみると、6行目に「また、」とありますから、ふたつに分けられそうですね。
ということは、まず、前半となる5行目までの表を描いてみようかな。

問題文前半(5行目まで)

表に書き込む。

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もも

横長の線を3本と、その線を4等分するように縦の線を3本引いていきます。
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Lukia

ももちゃんは、以下のような表を描いています。

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もも

では、前半を見ながら、表に数字を書き込んでいこう。

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もも

今回、食塩水にはA、Bと名前がついているんですね。
では、表だと左から2番目の列を食塩水Aとして、
左から3番目の列を食塩水Bとします。
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もも

あれっ、今回は、①と③は埋まらないんですね。
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Lukia

そうですね。問題文後半の最後の2行を読んでもらえばわかりますが、
食塩水Aと食塩水Bのそれぞれの濃度を求める問題なので、
①と③には具体的な数があてられてないんですね。
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もも

ふ~ん。そうかぁ。
じゃ、Aを \(\Large x\) 、Bを \(\Large y\) としてもいいですか?
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Lukia

いいですよ。
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もも

では、①が \(\Large x\) 、
②が \(\Large y\) となります。
あとは、わりと簡単かな。
まず、⑤は6、
②は 200、
④は 300です。
「全体の重さ」の段の「横はたし算」はここでやってしまってもかまわないので、
②+④=⑥ より、
⑥は 500 ということになります。

%を百分率に直しておく。

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もも

百分率に直すのは簡単。
左から、 \(\Large \frac{x}{100}\) ・ \(\Large \frac{y}{100}\) ・\(\Large \frac{6}{100}\) となります。

縦はかけ算・横はたし算

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もも

次は、縦の列だな。
「縦はかけ算」をして、表の一番下の段のマスをうめていきます。
食塩水Aの列は、\(\Large \frac{x}{100}\times 200\) 、
食塩水Bの列は、\(\Large \frac{y}{100}\times 300\) 、
さらに6%の食塩水は、\(\Large \frac{6}{100}\times 500\) となります。

一番下の段の「たし算」をする。

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もも

表の一番下の段のマスがすべてうまったので、
あとは、「横はたし算」をして、式を立てていきます。
式は、
\(\Large \frac{x}{100}\times 200+\frac{y}{100}\times 300=\frac{6}{100}\times 500\) となります。
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もも

前半はわりと簡単だったな~。
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もも

あれっ、Lukia先生?
なんで、いじけてるんですか?
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Lukia

かなり前半で、ももちゃんにおいていかれまして・・・(涙)
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もも

んもぉ~、次行きますよっ♪

問題文後半(6行目から)

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Lukia

ブログの特性上、問題文を見るには、かなり上のほうまで戻らなければならないので、
問題文の後半部分だけを表示してみましょうね。

表に書き込む。

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Lukia

では、再度、以下のような表を描いて、数字を書き込んでいきましょう。

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もも

前半で、
①は 、
③は と決めましたから、それぞれ書き込んで・・・。
⑤は 7 です。
そして、②が 300 、
④が 200 ですね。
ということは、⑥は 500 ですね。
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Lukia

表を描くことで、前半と後半の共通点やちがいなどがよくわかりますね。
それでは、次に進みましょう。

%を百分率に直しておく。

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もも

①、③、⑤を百分率に直します。
左から、 \(\Large \frac{x}{100}\) ・ \(\Large \frac{y}{100}\) ・ \(\Large \frac{7}{100}\) となりますね。

縦はかけ算・横はたし算

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もも

前半の表と同じく、「縦はかけ算」をして、
表の一番下の段のマスを埋めていきます。
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Lukia

左から、\(\Large \frac{x}{100}\times 300 ・ \frac{y}{100}\times 200 ・ \frac{7}{100}\times 500\) となりますっ♪
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もも

大人げないなぁ、もぉ・・・。

一番下の段の「たし算」をする。

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Lukia

あとは、「横はたし算」をすることで、式を立てられますね。
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もも

言っていいんですか?
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Lukia

はい。さっきので、満足しましたから。
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もも

そうなんだ・・・。
では、後半部分の式は、
\(\Large \frac{x}{100}\times 300+\frac{y}{100}\times 200=\frac{7}{100}\times 500\) となります。

連立方程式を解く。

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Lukia

この問題では、食塩水Aと食塩水Bの濃度がわからないため、
それぞれ、\(\Large x\) ・ \(\Large y\) とおきました。
おいた文字の数だけ、式を立てる必要がありますから、前半と後半にわけて表を描き、ふたつの式を立てたわけですね。
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もも

そうでした。
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Lukia

前半の式を①、
後半の式を②とすると、
以下のようになりますね。

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Lukia

どちらの式にも、両辺に分母の100があり、
分子にも100があることになりますから、
式はもっと簡単な形になりますね。

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Lukia

ふたつの式そのものは、たし算をすると考えてください。
つまり、式①+式②という操作をおこないます。
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もも

はい。
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Lukia

小学校で筆算をやったと思いますが、
ぱっと見、筆算してみるとどうですか?
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もも

\(\Large 5x+5y=13\times 5\) になります。
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Lukia

高校数学ならば、この式も解けるようになるのですが、
中学数学レベルでは解けません。
というわけで、それぞれを求めるために、まずは\(\Large x\) か \(\Large y\) のどちらかを消したいのですが、
ももちゃん、どっちがいいですか?
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もも

まぁ、\(\Large y\) ですかねぇ。
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Lukia

わかりました。
では、式①と式②の を見てもらうと、
それぞれ、\(\Large 3y\) と \(\Large 2y\) となっていますね。
最小公倍数はいくつですか?
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もも

\(\Large 6y\) です。
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Lukia

はい。それでは、その最小公倍数になるためには、
式①と、式②には、それぞれいくつをかけたらいいですか?
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もも

ええっと・・・
式①は、\(\Large 3y\) だったから、
\(\Large 6y\) になるためには、\(\Large 2\) をかけなくてはいけませんね。
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Lukia

そうですね。では、式②のほうは?
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もも

ええっと・・・
\(\Large 2y\) でしたから、
\(\Large 6y\) になるためには、\(\Large 3\) をかけます。
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Lukia

そうですね。
そして、それぞれの式をもう一度見てほしいのですが、
\(\Large y\) の項は、どちらも+(プラス)でつながれているんですよね。
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もも

ふむふむ。
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Lukia

ふたつの式そのものはたし算をするのですが、
今回、\(\Large y\) は「プラス」でつながれているので、
「消える」すなわち、「0(ゼロ)」になりませんでした。
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もも

でも、\(\Large y\) を消したいんだから、
片方が「マイナス」だったらいいのになぁ・・・。
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Lukia

おろっ!ももちゃん、いいこといいますね!
そうです、片方を「マイナス〇(〇は数字)」にしてかければいいんです。
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もも

そうなんですね!
じゃ、②の式に \(\Large 3\) をかけるんだったけど、
\(\Large -3\) にしてかけてみようかな。
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Lukia

ということは、
①×2+②×(-3)となりますね。

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Lukia

それぞれ展開して、筆算の形にしてみましょう。

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Lukia

\(\Large x=9\) を式①または式②に代入して \(\Large y\) を求めます。
今回は、式①に代入しましょうか。

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Lukia

以上より、\(\Large x=9\) 、\(\Large y=4\) とわかりましたので、
食塩水Aの濃度は、9%
食塩水Bの濃度は、4%とわかりました。

 

おわりに

連立方程式の解き方を少していねいにやったので、文字数も3500字近くになってしまいました。
読むのが大変だったかもしれませんね。

さて、一応今回で、「2種類の濃度の食塩水を混ぜ合わせる」問題は終了となります。
また、おもしろそうな問題があれば、その10があるかもしれません。

それでは、再度、問題と答えを載せておわりにしましょう。


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