高校数学の「三角関数の最小値」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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高校数学 , 三角関数の最小値 , 三角関数 , 最大値や最小値を求める , 関数の合成 , 数学検定2級

問題

\( \ y=-12\sin \theta+5\cos \theta+3 \ \)の最小値を求めよ。

解法

Lukia_74
Lukia
あらかじめおことわりしておくことがあります。
不等号(<)の下に等号(=)がついている「小なりイコール」がうまく表示されないため、
不等号の下に一本線の「小なりイコール」にて対応させています。
(意味は同じです)


\( \ \begin{align}与式=&\sqrt{\left( −12\right)^2+5^2}\sin \left( \theta+\alpha\right)+3 \\ &\left( ただし\alpha \ は\quad \sin \alpha=\frac{5}{13} \ , \ \cos \alpha=-\frac{12}{13} \ を満たす角\right) \end{align} \ \)
\begin{align}0 \leq &\theta \leq 2\pi \\ \alpha \leq &\theta+\alpha \leq 2\pi+\alpha \\ -1 \leq &\sin \left( \theta+\alpha\right) \leq 1\\ -13 \leq &13\sin \left( \theta+\alpha\right) \leq 13\\ -13+3 \leq &13\sin \left( \theta+\alpha\right)+3 \leq 13+3\\ -10 \leq &y \leq 16 \end{align}

\( \ ゆえに最小値は \ −10 \ \)

グラフも描いてみました

Lukia_74
Lukia
\( \ y=-12\sin \theta+5\cos \theta+3 \ \)のグラフをGeoGebra(ジオジブラ)を使って描いてみました。今回求めるのは、最小値でしたね。
グラフ

こたえ

$$-10$$

プロフィール

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Author Profile
Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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