高校数学の「漸化式(ちょっと難しい?)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 数列 , 漸化式 , 数学検定2級

問題

problem

数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)の初項から第\( \ n \ \)項までの和を\( \ \mathrm{S}_n \ \)とする.
\(a_{n+1}=\mathrm{S}_n+2n-1\quad \left( n=1, \ 2, \ 3 \ \cdots\right)\)が成り立つとき,次の問いに答えよ.ただし,数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)の初項は\( \ 3 \ \)とする.
(1) \(a_2 \ \)と\( \ a_3 \ \)を求めよ.
(2) \(a_{n+2} \ \)を\( \ a_{n+1} \ \)を用いて表せ.
(3) 一般項\( \ a_n \ \)を\( \ n \ \)を用いて表せ.また,\( \ a_1 \ \)を求めよ.

数列は素直さが求められます。

Lukia_74

Lukia

難しそうな数式で表されていますが、困ったら具体的な自然数を代入してみれば、解法の糸口がつかめるのが数列のいいところでもあります。
というわけで、与えられた式をちょっと変形して、自然数を代入してみましょう。

$$\begin{align}a_{n+1}=&\mathrm{S}_n+2n-1\quad より \\\\ a_2=&3+2-1=4 \\\\ a_3=&\mathrm{S}_2+4-1=a_1+a_2+3=10 \end{align}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}a_{n+2}=&\mathrm{S}_{n+1}+2\left( n+1\right)-1 \\\\ =&a_{n+1}+\mathrm{S}_{n+1}+2n+1 \\\\ =&2a_{n+1}+2 \end{align}$$

(3)を解く。

(2)より,
$$\begin{align}a_{n+2}=&2a_{n+1}+2 \\\\ \left( a_{n+2}-\alpha\right)=&2\left( a_{n+1}-\alpha\right) \\\\ \alpha=&-2 \ より,\\\\ \left( a_{n+2}+2\right)=&2\left( a_{n+1}+2\right) \\\\ ここで, \ b_n=&a_{n+1}+2\quad とする.\\\\ b_1=&6\\\\ b_n=&6\cdot 2^{n-1}=a_{n+1}+2\\\\ a_{n+1}=&3\cdot 2^n-2\quad より,\\\\ a_n=&3\cdot 2^{n-1}-2 \\\\ a_1=&1 \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

問題文中に、「初項」と「\( \ a_1 \ \)」とわざわざ書き分けられていますね。
2019年1月の段階では、うまく説明できないのですが、\(a_1 \neq 初項\)という数列もあるよ。ということなのかなぁ。と思います。
釈然としない状態での記事公開で申し訳ないです。

こたえ


$$\begin{align}\left( 1\right)\quad &a_2=4\quad ,\quad a_3=10 \\\\ \left( 2\right)\quad &a_{n+2}=2a_{n+1}+2 \\\\ \left( 3\right)\quad &a_n=3\cdot 2^{n-1}-2 \\\\ &a_1=1 \end{align}$$

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