高校数学の「漸化式（ちょっと難しい？）」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年1月14日2023年1月14日数列実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準1級

[mathjax]

数列は素直さが求められます。

Lukia

難しそうな数式で表されていますが、困ったら具体的な自然数を代入してみれば、解法の糸口がつかめるのが数列のいいところでもあります。
というわけで、与えられた式をちょっと変形して、自然数を代入してみましょう。

$$\begin{align}a_{n+1}=&\mathrm{S}_n+2n-1\quad より \\\\ a_2=&3+2-1=4 \\\\ a_3=&\mathrm{S}_2+4-1=a_1+a_2+3=10 \end{align}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}a_{n+2}=&\mathrm{S}_{n+1}+2\left( n+1\right)-1 \\\\ =&a_{n+1}+\mathrm{S}_{n+1}+2n+1 \\\\ =&2a_{n+1}+2 \end{align}$$

(3)を解く。

(2)より,
$$\begin{align}a_{n+2}=&2a_{n+1}+2 \\\\ \left( a_{n+2}-\alpha\right)=&2\left( a_{n+1}-\alpha\right) \\\\ \alpha=&-2 \ より,\\\\ \left( a_{n+2}+2\right)=&2\left( a_{n+1}+2\right) \\\\ ここで, \ b_n=&a_{n+1}+2\quad とする.\\\\ b_1=&6\\\\ b_n=&6\cdot 2^{n-1}=a_{n+1}+2\\\\ a_{n+1}=&3\cdot 2^n-2\quad より,\\\\ a_n=&3\cdot 2^{n-1}-2 \\\\ a_1=&1 \end{align}$$

Lukia

問題文中に、「初項」と「\( \ a_1 \ \)」とわざわざ書き分けられていますね。
2019年1月の段階では、うまく説明できないのですが、\(a_1 \neq 初項\)という数列もあるよ。ということなのかなぁ。と思います。
釈然としない状態での記事公開で申し訳ないです。

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)\quad &a_2=4\quad ,\quad a_3=10 \\\\ \left( 2\right)\quad &a_{n+2}=2a_{n+1}+2 \\\\ \left( 3\right)\quad &a_n=3\cdot 2^{n-1}-2 \\\\ &a_1=1 \end{align}$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。