2019年大学入試センター試験数学1A「第1問集合と論理」を解いてみる。

2019年1月26日2021年8月9日集合と論理実用数学技能検定（数学検定数検),数検準2級

読了時間: 約3分55秒

問題

二つの自然数$ \ m \ , \ n \ $に関する三つの条件$ \ p \ , \ q \ , \ r \ $を次のように定める。
$ \ p: \ m \ $と$ \ n \ $はともに奇数である
$ \ q: \ 3mn \ $は奇数である
$ \ r: \ m+5n \ $は偶数であるまた,条件$ \ p \ $の否定を$ \ \overline{p} \ $で表す。

(1)　次の$ \ \color{#0004fc}{シ \ , \ ス} \ $に当てはまるものを選択肢の中から一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。二つの自然数$ \ m \ , \ n \ $が条件$ \ \overline{p} \ $を満たすとする。
このとき,$ \ m \ $が奇数ならば$ \ n \ $は$ \ \color{#0004fc}{シ} \ $。
また,$ \ m \ $が偶数ならば$ \ n \ $は$ \ \color{#0004fc}{ス} \ $。

以下,偶数の$ \ m \ $を $ \ m_グ \ $ ,奇数の$ \ m \ $を $ \ m_キ \ $
偶数の $ \ n \ $ を $ \ n_グ \ $ ,奇数の $ \ n \ $ を $ \ n_キ \ $ とする.
条件 $ \ p \ $ は $ \ m_キ\cap n_キ \ $ であるので,
条件 $ \ \overline{p}=\overline{m_キ\cap n_キ}=m_グ\cup n_グ \ $ である.

Lukia

つまり、「少なくとも$ \ m \ , \ n \ $のどちらかが偶数である。」ということになります。二つともが偶数でもいいですね。
ただ、絶対にありえないのは両方とも奇数という場合です。

$ \ m \ $ が奇数ならば $ \ n \ $ は偶数である。
$ \ m \ $ が偶数ならば $ \ n \ $ は偶数でも奇数でもよい。

問題

(2)　次の$ \ セ \ , \ ソ \ , \ タ \ $に当てはまるものを,選択肢の中から一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
$ \ p \ $は$ \ q \ $であるための$ \ \color{#0004fc}{セ} \ $。
$ \ p \ $は$ \ r \ $であるための$ \ \color{#0004fc}{ソ} \ $。
$ \ \overline{p} \ $は$ \ r \ $であるための$ \ \color{#0004fc}{タ} \ $。

$$\begin{align}\mathrm{N}\left( 必要条件\right) \ p\quad &m \ と \ n \ はともに奇数\quad \quad m_キ\cap n_キ \ \\\\ \mathrm{S}\left( 十分条件\right) \ q\quad &3mn \ は奇数である\quad \quad m_キ\cap n_キ\quad \end{align}$$
$$p \ は \ q \ であるための \ \color{#0004fc}{必要十分条件である}。$$

$$\begin{align}\mathrm{N}\left( 必要条件\right) \ p\quad &m \ と \ n \ はともに奇数\quad \quad m_キ\cap n_キ \\\\ \cap\quad & \\\\ \mathrm{S}\left( 十分条件\right) \ r\quad &m+5n \ は偶数である\quad \quad m_キ\cap n_キ\quad または\quad m_グ\cap n_グ \end{align}$$
$$p \ は \ r \ であるための \ \color{#0004fc}{十分条件であるが,必要条件ではない}。$$

$$\begin{align}\mathrm{N}\left( 必要条件\right) \ \overline{p}\quad &\overline{m \ と \ n \ はともに奇数}\quad \quad m_グ\cap n_グ \ , \ m_キ\cap n_グ \ , \ m_グ\cap n_キ \\\\ \quad &\left( \color{#ff0000}{互いに完全に包含していない}\right) \\\\ \mathrm{S}\left( 十分条件\right) \ r\quad &m+5n \ は偶数である\quad \quad m_キ\cap n_キ\quad または\quad m_グ\cap n_グ \end{align}$$
$$p \ は \ r \ であるための \ \color{#0004fc}{必要条件でも十分条件でもない}。$$

Lukia

必要条件・十分条件・必要条件は、それぞれ完全な包含関係が成り立つときにあてはまります。
「タ」のように、互いに含みきれず、もれてしまう場合は、必要条件とも十分条件とも言えません。
ここらへんが苦手な方は、まずは、「ひとつでも例外があってはいけない。」というのをおさえておきましょう。

Lukia

また、主語（「は」がついている方）を方位磁石のN極（必要条件：Needと北：Northとをかけて）に見立てて時計でいう12時の方向におき、
「～であるための」をS極（十分条件：Sufficientと南：Southとをかけ）に見立てて、時計でいう6時の方向においたうえで、それぞれの包含関係を見ていくやり方は、
東進衛星予備校の講師、沖田一希先生のやり方を踏襲したものです。

Lukia

これを習ったおかげで、（うっかりミスはさておき）必要条件・十分条件自体は間違わなくなりました。
皆さんも、もし機会があれば、沖田一希先生の講義をチェックしてみてください。

2019年大学入試センター試験の数学の問題の一覧です。