2019年大学入試センター試験 数学1A「第1問 集合と論理」を解いてみる。

2019年1月26日集合と論理数学, 数学検定, 数検準2級

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二つの自然数\( \ m \ , \ n \ \)に関する三つの条件\( \ p \ , \ q \ , \ r \ \)を次のように定める。
\( \ p: \ m \ \)と\( \ n \ \)はともに奇数である
\( \ q: \ 3mn \ \)は奇数である
\( \ r: \ m+5n \ \)は偶数であるまた,条件\( \ p \ \)の否定を\( \ \overline{p} \ \)で表す。(1) 次の\( \ \color{#0004fc}{シ \ , \ ス} \ \)に当てはまるものを選択肢の中から一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。二つの自然数\( \ m \ , \ n \ \)が条件\( \ \overline{p} \ \)を満たすとする。
このとき,\( \ m \ \)が奇数ならば\( \ n \ \)は\( \ \color{#0004fc}{シ} \ \)。また,\( \ m \ \)が偶数ならば\( \ n \ \)は\( \ \color{#0004fc}{ス} \ \)。

$$\begin{align}以下,\quad &偶数のmを \ m_グ \ ,奇数のmを \ m_キ\\ &偶数のnをn_グ \ ,奇数のnをn_キ\quad とする. \\ \\ 条件pは\quad &m_キ\cap n_キ \ であるので, \\ 条件\overline{p}=&\overline{m_キ\cap n_キ}=m_グ\cup n_グ\quad である. \end{align}$$

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つまり、「少なくとも\( \ m \ , \ n \ \)のどちらかが偶数である。」ということになります。二つともが偶数でもいいですね。
ただ、絶対にありえないのは両方とも奇数という場合です。

$$\begin{align}m \ が奇数ならば \ n \ は&\color{#0004fc}{偶数である}。 \\ m \ が偶数ならば \ n \ は&\color{#0004fc}{偶数でも奇数でもよい}。 \end{align}$$

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(2) 次の\( \ セ \ , \ ソ \ , \ タ \ \)に当てはまるものを,選択肢の中から一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
\( \ p \ \)は\( \ q \ \)であるための\( \ \color{#0004fc}{セ} \ \)。
\( \ p \ \)は\( \ r \ \)であるための\( \ \color{#0004fc}{ソ} \ \)。
\( \ \overline{p} \ \)は\( \ r \ \)であるための\( \ \color{#0004fc}{タ} \ \)。

$$\begin{align}\mathrm{N}\left( 必要条件\right) \ p\quad &m \ と \ n \ はともに奇数\quad \quad m_キ\cap n_キ \\ \cap または \cup\quad & \\ \mathrm{S}\left( 十分条件\right) \ q\quad &3mn \ は奇数である\quad \quad m_キ\cap n_キ\quad \end{align}$$
$$p \ は \ q \ であるための \ \color{#0004fc}{必要十分条件である}。$$


$$\begin{align}\mathrm{N}\left( 必要条件\right) \ p\quad &m \ と \ n \ はともに奇数\quad \quad m_キ\cap n_キ \\ \cap\quad & \\ \mathrm{S}\left( 十分条件\right) \ r\quad &m+5n \ は偶数である\quad \quad m_キ\cap n_キ\quad または\quad m_グ\cap n_グ \end{align}$$
$$p \ は \ r \ であるための \ \color{#0004fc}{十分条件であるが,必要条件ではない}。$$

$$\begin{align}\mathrm{N}\left( 必要条件\right) \ \overline{p}\quad &\overline{m \ と \ n \ はともに奇数}\quad \quad m_グ\cap n_グ \ , \ m_キ\cap n_グ \ , \ m_グ\cap n_キ \\ \quad &\left( \color{#ff0000}{互いに完全に包含していない}\right) \\ \mathrm{S}\left( 十分条件\right) \ r\quad &m+5n \ は偶数である\quad \quad m_キ\cap n_キ\quad または\quad m_グ\cap n_グ \end{align}$$
$$p \ は \ r \ であるための \ \color{#0004fc}{必要条件でも十分条件でもない}。$$

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必要条件・十分条件・必要条件は、それぞれ完全な包含関係が成り立つときにあてはまります。
「タ」のように、互いに含みきれず、もれてしまう場合は、必要条件とも十分条件とも言えません。
ここらへんが苦手な方は、まずは、「ひとつでも例外があってはいけない。」というのをおさえておきましょう。
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また、主語(「は」がついている方)を方位磁石のN極(必要条件:Needと北:Northとをかけて)に見立てて時計でいう12時の方向におき、
「~であるための」をS極(十分条件:Sufficientと南:Southとをかけ)に見立てて、時計でいう6時の方向においたうえで、それぞれの包含関係を見ていくやり方は、
東進衛星予備校の講師、沖田一希先生のやり方を踏襲したものです。
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これを習ったおかげで、(うっかりミスはさておき)必要条件・十分条件自体は間違わなくなりました。
皆さんも、もし機会があれば、沖田一希先生の講義をチェックしてみてください。

2019年大学入試センター試験の数学の問題の一覧です。

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Posted by Lukia_74