高校数学の「等差数列+等比数列」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年12月8日数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

高校数学の「等差数列+等比数列」に関する問題を解いてみる。
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問題
等差数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)と等比数列\( \ \lbrace b_n\rbrace \ \)がある。数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)と数列\( \ \lbrace b_n\rbrace \ \)は初項がともに\( \ 2 \ \)であり、\( \ a_1=-6 \ , \ a_2+b_2=4 \ \)を満たしている。
(1) 等差数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)の交差と等比数列\( \ \lbrace b_n\rbrace \ \)の公比を求めよ。
(2) \( \ c_n=a_n+b_n\quad \left( n=1 \ , \ 2 \ \ , \ 3 \ , \ \cdots\cdots\right) \ \)とする。このとき、\( \ c_1+c_2+c_3+\cdots\cdots+c_n \ \)を\( \ n \ \)を用いて表わせ。
(3) \( \ c_n=a_n+b_n\quad \left( n=1 \ , \ \ 2 \ , \ 3 \ , \ \cdots\cdots\right) \ \)とする。このとき、\( \ \sum_{k=1}^{n}{\left( c_{2k-1}-c_{2k}\right)} \ \)を\( \ n \ \)を用いて表わせ。

等差数列と等比数列の一般項を覚えていますか?

$$\begin{align}等差数列\lbrace a_n\rbraceの&公差を \ d \ とする。 \\\\ a_n=&dn-2-d\quad であり \\\\ a_3=&3d+2-d=-6\\\\ d=&-4\\\\ ゆえに \ a_n=&-4n+6 \end{align}$$
$$\begin{align}等比数列\lbrace b_n\rbraceの&公比を \ r \ とする。\left( ただし、r \neq 0 \ , \ r \neq 1\right)\\\\ すると \ b_n=&2\cdot r^{n-1} \\\\ a_2+b_2=&-2+2r=4 \\\\ r=&3 \\\\ ゆえに \ b_n=&2\cdot 3^{n-1} \end{align}$$
$$\begin{align}以上より\quad &公差は\quad -4 \\\\ &公比は\quad 3 \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

この(1)の問題は、等差数列または等比数列の一般項の表し方を知っているかどうか。を確認する基礎的なものといえます。
ここで特記すべきは、「等差数列の一般項の表し方について」です。
Lukia_74

Lukia

教科書に書いてある等差数列の一般項は、
\( \ a_n=a_1+d\left( n-1\right) \ \)
だと思います。(以下「教科書型」とさせていただきます)
しかし、解答は、この形ではなく、\( \ a_n=dn+a_1-d \ \)で答えるのが一般的です。(こちらは以下「解答型」とさせていただきます)
私も、再受験生時代の初期は、「教科書型」を覚えて、そこから「解答型」に変形していたのですが、この変形の時間や作業がもったいない。
そこで、「教科書型」を変形しただけの「解答型」を覚え直すことにしました。
本当にちょっとしたことなんですが、この効果は私の中では大きかったです。
Lukia_74

Lukia

私の場合、書く文字が大きいため、式変形の回数が多ければ多いほど、下書きスペースが圧迫されます。式変形の回数の多さが致命傷となりかねないのですが、文字を小さめに書く習慣を身につけるほうが時間がかかると思ったので、覚え直せば解決できる方法を取ることにしました。
実際、求められる一般項は、「解答型」なのですから、最初から「解答型」にあてはめれば、いろいろ手間は省けます。

等差数列の和と等比数列の和を覚えていますか?

$$\begin{align}S_n=&c_1+c_2+c_3+\cdots\cdots+c_n\quad とする. \\\\ S_n=&\sum_{k=1}^{n}{c_k} \\\\ =&\sum_{k=1}^{n}{\left( a_k+b_k\right)}\\\\ =&\sum_{k=1}^{n}{a_k}+\sum_{k=1}^{n}{b_k} \\\\ =&\frac{n}{2}\left( 2-4n+6\right)+\frac{2\left( 1-3^n\right)}{\left( 1-3\right)}\\\\ =&-2n^2+4n+3^n-1 \end{align}$$

「n」の意味の違いを理解できれば、楽勝!

$$\begin{align}c_{2n-1}=&a_{\color{#f700ca}{2n-1}}+b_{\color{#0004fc}{2n-1}} \\\\ =&-4\left( \color{#f700ca}{2n-1}\right)+6+2\cdot 3^{\color{#0004fc}{\left( 2n-1\right)}-1} \\\\ =&-8n+4+6+2\cdot 9^{n-1}\\\\ =&-8n+10+2\cdot 9^{n-1} \end{align}$$
$$\begin{align}c_{2n}=&a_{2n}+b_{2n} \\\\ =&-4\cdot 2n+6+2\cdot 3^{2n-1} \\\\ =&-8n+6+\frac{2}{3}\cdot 9^n \end{align}$$

$$\begin{align}ここで,\quad d_n=&\left( c_{2n-1}-c_{2n}\right)\quad とする. \\\\ d_n=&4-\frac{4}{9}\cdot 9^n=4-4\cdot 9^{n-1} \end{align}$$

$$\begin{align}\sum_{k=1}^{n}{d_k}=&4n-\lbrace \frac{4\left( 1-9^n\right)}{\left( 1-9\right)}\rbrace \\\\ =&4n-\frac{1}{2}\left( 9^n-1\right) \end{align}$$

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Lukia

(3)の問題は、\( \ c_n=a_n+b_n \ \)を用いて、奇数項である\( \ c_{2n-1}=a_{2n-1}+b_{2n-1} \ \)と、偶数項である\( \ c_{2n}=a_{2n}+b_{2n} \ \)をそれぞれ表し、さらに\( \ d_n=c_{2n-1}-c_{2n} \ \)の一般項にしてから和を求めるという流れになります。
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Lukia

ここで注意したいのは、\( \ c_n \ \)が\( \ c_{2n-1} \ \)になったとき、もとの\( \ n \ \)に何を入れたらいいか。ということです。
Lukia_74

Lukia

答えは単純。
もとの\( \ n \ \)に\( \ 2n-1 \ \)または、\( \ 2n \ \)を入れて大丈夫です。
混乱しそうな人は、\( \ n=2m-1 \ \)または\( \ n=2m\quad \left( mは自然数\right) \ \)とすればいい。
上の解答例で、ピンクまたは青で書いている\( \ 2n-1 \ \)を確実に書き込めれば、あとは式変形して和を求めるだけなので、実はこの山さえ越えればあとは楽勝な問題だといえます。
Lukia_74

Lukia

\( \ n \ \)はおそらく自然数(natural number)の\( \ n \ \)のことだと思うのですが、
これは要するに、「自然数だったら、何入れてもいいよ。いちいち書くのめんどくさいから、\( \ n \ \)にしとくね〜。」ということでしょう。
今回、あえて書き換えなかったのですが、数列\( \ \lbrace c_n\rbrace \ \)の\( \ n \ \)と、\( \ 2n-1 \ \)または\( \ 2n \ \)の\( \ n \ \)は、意味合いが少し違います。
前者の\( \ n \ \)は、「自然数なら何いれてもいいよ〜。」の\( \ n \ \)なので、私たちは、一般項の\( \ n \ \)に確実に\( \ 2n-1 \ \)または\( \ 2n \ \)を代入する必要があるんですね。
Lukia_74

Lukia

新たな式変形は必要なく、それぞれの\( \ n \ \)が表す意味合いの違いを理解できているかどうかを試すだけの問題でした。
Lukia_74

Lukia

空腹を訴える夫をなだめつつ記事を仕上げました。
ネギとタコがあるので、記事の公開後、タコのみ焼きでも作ろうと思います♪

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)\quad \quad &公差: \ -4\quad ,\quad 公比: \ 3 \\\\ \left( 2\right)\quad \quad &-2n^2+4n+3^n-1 \\\\ \left( 3\right)\quad \quad &4n-\frac{1}{2}\left( 9^n-1\right) \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74