Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった、ドモアブルの定理を使う計算問題をやってみた。

2018年9月21日数学検定準1級, 複素数平面Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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問題

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\(\Large \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i}\right)^8\)を計算せよ。

解法

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Lukia

ひとまず、分母を有理化してみます。

$$\begin{align}\left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i}\right)^8=&\left( \frac{\sqrt{2}\left( \sqrt{3}-i\right)}{\left( \sqrt{3}+i\right)\left( \sqrt{3}-i\right)}\right)^8 \\ =&\left( \frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-i\right)\right)^8 \\ =&\left( \frac{\sqrt{2}}{4}\cdot 2\right)^8\left( \cos \left( \color{blue}{2\pi}-\frac{ \pi }{ 6 }\right)+i\sin \left( \color{blue}{2\pi}-\frac{ \pi }{ 6 }\right)\right)^8 \end{align}$$

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Lukia

ここで、指数の計算をしてしまいましょう。
 \(\left( \frac{\sqrt{2}}{4}\cdot 2\right)^8\)
\(=\left( 2^\left( \frac{1}{2}-2+1\right)\right)^8\)
\(=\left( 2^\left( -\frac{1}{2}\right)\right)^8\)
\(=2^\left( -\frac{1}{2}\times 8\right)=2^\left( -4\right)=\frac{1}{16}\)
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Lukia

また、\(-\frac{ \pi }{ 6 }\) がイメージしにくい、計算しにくい方は、
\(\color{blue}{2\pi}+\theta\)の形で考えてみましょう。
\(\color{blue}{2\pi}\)って、結局0のことだから、つけておいても問題ありませんね。
何倍しても0ですし。
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Lukia

ただし、ドモアブルの定理を使うまでは、
\(\color{blue}{2\pi}-\frac{ \pi }{ 6 }\) のままでおいておきましょう。
計算して、\({\frac{ 11 }{ 6 }}\pi\) としてしまうと、
あとの計算がややこしくなって、ミスのもとになってしまいます。

$$\begin{align}与式=&\frac{1}{16}\lbrace \cos \left( \color{blue}{2\pi}-\frac{ \pi }{ 6 }\right)+i\sin \left( \color{blue}{2\pi}-\frac{ \pi }{ 6 }\right)\rbrace^8 \\ =&\frac{1}{16}\lbrace \cos \left( \color{blue}{2\pi}-{\frac{ 4 }{ 3 }}\pi\right)+i\sin \left( \color{blue}{2\pi}-{\frac{ 4 }{ 3 }}\pi\right)\rbrace \\ =&\frac{1}{16}\left( \cos {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi+i\sin {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi\right) \end{align}$$

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Lukia

\(\cos {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi\) や\(\sin {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi\)の値を考えるのは、
数学Ⅲをやるようなレベルの方には問題ないことですよね。


$$\begin{align}\frac{1}{16}\left( \cos {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi+i\sin {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi\right) =&\frac{1}{16}\left( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \\ =&\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{2}\left( 1+\sqrt{3}i\right) \\ =&\frac{1+\sqrt{3}i}{32} \end{align}$$

こたえ


$$\Large \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+i}\right)^8=\frac{1+\sqrt{3}i}{32} $$

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