高校数学の「2次方程式の実数解」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数と式Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

読了時間: 約351

KEYWORDS高校数学 , 2次方程式 , 解と係数の関係 , 数学検定準2級

問題

problem

 

\(x\)についての2次方程式 \( \ x^2-2\left( k+2\right)x+k^2+2k+3=0 \ \) \( \ \left( k \ は実数\right) \ \)が異なる二つの実数解をもつとき,\( \ k \ \)のとり得る値の範囲は,\( \ k \gt \frac{\color{red}{[アイ]}}{\color{red}{[ウ]}} \ \)であり,二つの実数解は,
\(x=k+\color{red}{[エ]} \pm \sqrt{\color{red}{[オ]}k+\color{red}{[カ]}}\)である.
二つの実数解を\( \ \alpha, \ \beta \ \left( \alpha \lt \beta\right) \ \)とするとき,\( \ \alpha+\beta=\color{red}{[キ]}k+\color{red}{[ク]} \ \)である.
\( \ \frac{\alpha+\beta}{3} \ \)の値の小数第1位を四捨五入すると\( \ 6 \ \)になるとき,\( \ k \ \)のとり得る値の範囲は,
\(\frac{\color{red}{[ケコ]}}{\color{red}{[サ]}} \leqq k \lt \frac{\color{red}{[シス]}}{\color{red}{[セ]}}\)である.
次に,\( \ k \ \)を整数とする.不等式\( \ \alpha \lt x \lt \beta \ \)を満たす整数\( \ x \ \)が3個だけ存在するような整数\( \ k \ \)の値は\(\color{red}{[ソ]}\)である.

ア~クまでは確実にできるようであってほしい。

与式の判別式をDとするとき,
$$\begin{align}\mathrm{D}/4=\left( k+2\right)^2-\left( k^2+2k+3\right) \gt &0 \\\\ 2k+1 \gt &0 \\\\ k \gt &-\frac{1}{2} \end{align}$$
与式の二つの異なる実数解は
$$\begin{align}x=&k+2 \pm \sqrt{2k+1} \end{align}$$
二つの実数解の和は
$$\alpha+\beta=2k+4$$

ケ~セを解く。

$$\begin{align}\alpha+\beta=&2k+4 \gt 2\cdot \left( -\frac{1}{2}\right)+4 \\\\ \frac{\alpha+\beta}{3}=&\frac{2k+4}{3} \gt 1\end{align}$$

Lukia_74

Lukia

この操作で、\( \ \frac{\alpha+\beta}{3} \ \)が明らかに1より大きいとわかりますね。

$$四捨五入して \ 6 \ になる \ \frac{\alpha+\beta}{3} \ は,$$
$$\begin{align}5.5 \leqq &\frac{\alpha+\beta}{3} \lt 6.5 \\\\ \frac{3\times 55}{10} \leqq &2k+4 \lt \frac{3\times 65}{10} \\\\ \frac{3\times 55-40}{10} \leqq &2k \lt \frac{3\times 65-40}{10}\\\\ \frac{25}{4} \leqq &k \lt \frac{31}{4} \end{align}$$

ソを高精度で解くポイントは平方根。

二つの実数解の差が3以上で4より小さければよい。
$$\begin{align}\beta-\alpha=&2\sqrt{2k+1} \\\\ 3 \leqq &2\sqrt{2k+1} \lt 4 \\\\ 3 \leqq &\sqrt{8k+4} \lt 4 \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

\( \ 2\sqrt{2k+1} \ \)を\( \ \sqrt{8k+4} \ \)にすることで、答えの精度が上がります。

$$\begin{align}3 \leqq &\sqrt{8k+4} \lt 4\\\\ \sqrt{9} \leqq &\sqrt{8k+4} \lt \sqrt{16}\end{align}$$
以下は平方根をはずして考える.
$$\begin{align}9 \leqq &8k+4 \lt 16 \\\\ 5 \leqq &8k \lt 12 \\\\ \frac{5}{8} \leqq &k \lt \frac{3}{2} \end{align}$$

$$題意を満たす整数 \ k \ は \ 1 \ $$

こたえ

 

$$\frac{\color{red}{[アイ]}}{\color{red}{[ウ]}}$$ $$\frac{\color{red}{-1}}{\color{red}{2}}$$
$$k+\color{red}{[エ]} \pm \sqrt{\color{red}{[オ]}k+\color{red}{[カ]}}$$ $$k+\color{red}{2} \pm \sqrt{\color{red}{2}k+\color{red}{1}}$$
$$\color{red}{[キ]}k+\color{red}{[ク]}$$ $$\color{red}{2}k+\color{red}{4}$$
$$\frac{\color{red}{[ケコ]}}{\color{red}{[サ]}}$$ $$\frac{\color{red}{25}}{\color{red}{4}}$$
$$\frac{\color{red}{[シス]}}{\color{red}{[セ]}}$$ $$\frac{\color{red}{31}}{\color{red}{4}}$$
$$\color{red}{[ソ]}$$ $$\color{red}{1}$$

カテゴリー