高校数学の「2つも絶対値がある不等式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数と式Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 絶対値 , 2つもある , 不等式 , 数学検定準2級

問題

problem

 

\(\vert \vert x-1 \vert-1\vert \lt 1\) を満たす整数\(x\)の個数を求めよ。

「絶対値」と思うから難しいんです。

事件は、スイーツのお店で起こりました。
なぜか、パラレルワールドにも「Yahoo!知恵袋」はあり、恐竜とはいえ今時の高校生、ディノさんもちょいちょいチェックしているようです。
早々にスイーツをたいらげ、スマホをいじっていたディノさんでしたが・・・。

dino

ディノ

なんじゃこりゃ~!
Lukia_74

Lukia

?と言いますと?(松田優作を知ってるのか?)
dino

ディノ

絶対値が絶対値にはさまれてるぞ!
Lukia_74

Lukia

そうですねぇ。なんとかしなきゃですねぇ。
dino

ディノ

パンケーキ食ってる場合かよ。ど~すりゃいいんだ~~!!
(ディノさんの雄叫びで店が軽く震える)
Lukia_74

Lukia

ディノさん、落ち着いてッ。
(あ~あ、お店の警報が鳴っちゃったよ・・・)
今のディノさんなら、必ず解けますから。

私は、周囲のおびえた目をしたお客さんたちに謝り、警報を止めるのにあわてふためく店員さんに謝りました。

Lukia_74

Lukia

(なんで、私がディノさんの代わりに謝ってんだか・・・)
「絶対値」は、「絶対値」と思うから難しいんですよ。
dino

ディノ

なんだそりゃ。禅問答か。
Lukia_74

Lukia

いえいえ。「絶対値」の記号を別のものに見立てれば、
解法はおのずとわかるはずです。
dino

ディノ

なんだ、その「別のもの」って。
Lukia_74

Lukia

じゃ、やってみますか。
dino

ディノ

よし!じゃ、早くパンケーキ食っちまえ!
なんなら、オレが手伝ってやるぞ。
Lukia_74

Lukia

だめっ!このパンケーキは私のですッ!

むくれるディノさんを尻目に、残っていたパンケーキを惜しむように食べました。

優先順位を決める。

Lukia_74

Lukia

さて、ディノさん、
もしもこの式が、\(\left( \left( x-1\right)-1\right) \lt 1\) だったら、どうします?
dino

ディノ

そりゃ、内側のカッコをはずしてだな・・・

$$\begin{align}\left( \left( x-1\right)-1\right)& \lt 1 \\ \left( x-1-1\right)& \lt 1 \\ x-2& \lt 1\\ x& \lt 3 \end{align}$$

dino

ディノ

こういう風に解くな。
Lukia_74

Lukia

カッコは、おそらく小学校の算数ぐらいから見ていると思いますが、
これは、簡単に言うと、数学や算数における「優先順位」を示すものですよね。
カッコの中を先に計算して、カッコをはずしていくはずです。
今回のように、カッコの入れ子構造になっている場合、より内側のカッコから外していく必要がありますよね。
dino

ディノ

ということは、絶対値も内側から外せばいいのか。
Lukia_74

Lukia

そのとおりです。
ひとまず、\(y=\vert \vert x-1 \vert -1 \vert\) としてグラフなり、式なりを考えてみましょう。

1)
$$\begin{align}1 \leqq &x\quad のとき \\ y=&\vert x-1-1 \vert=\vert x-2 \vert \end{align}$$
2)
$$\begin{align}x \lt &1\quad のとき \\ y=&\vert -x+1-1 \vert=\vert -x \vert \end{align}$$

dino

ディノ

ひとまず、ひとつの絶対値記号がはずれたな。
Lukia_74

Lukia

はい。でも、まだもうひとつが残っていますね。
1)や2)の\(x\)の範囲はおおもとなので、無視しないようにして、さらに絶対値記号をはずしていきましょう。

内側から絶対値記号はずしてグラフを描く。

1)
$$\begin{align}1 \leqq &x \lt 2\quad のとき \\ y=&-x+2 \cdotsⅰ\\ 2 \leqq &x\quad のとき\\ y=&x-2\cdotsⅱ \end{align}$$

2)
$$\begin{align}0 \lt &x \lt 1\quad のとき \\ y=&x\cdotsⅲ \\ x \leqq &0\quad のとき\\ y=&-x\cdotsⅳ\end{align}$$

Lukia_74

Lukia

ⅰからⅳまでをグラフにまとめると、以下の図の青い線のようになりますね。

不等式を解く。

Lukia_74

Lukia

グラフが描けたのですから、このグラフに\(y=1\)を描き加えて、条件を満たす整数\(x\)をさがしてみましょう。

Lukia_74

Lukia

上の図のピンクで塗りつぶされた下向き三角形の部分が条件を満たす領域です。
dino

ディノ

ピンクの直線と、ブルーの直線の交点部分は含まないんだよな。
ということは、\(-1 \lt x \lt 1\)と\(1 \lt x \lt 3\)ということになる。
Lukia_74

Lukia

そうですね。では、二つの範囲に含まれている整数はいくつですか。
dino

ディノ

\(0\)と\(2\)だ。
Lukia_74

Lukia

ということは、題意を満たす整数\(x\)の個数は・・・
dino

ディノ

2個だな♪

こたえ

2個

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