高校数学の「二つの実数と絶対値を含んだ定積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 積分の応用 , 数学検定準1級 , 数学検定2級

問題

problem

 

\( \ 0 \leqq a \leqq b \leqq 1 \ \)を満たす実数\( \ a \ , \ b \ \)に対して

$$\mathrm{I}=\int_{0}^{1} \vert \left( x-a\right)\left( x-b\right) \vert dx$$
とおく.
実数\( \ a \ , \ b \ \)の値が変化することによって,\( \ \mathrm{I} \ \)は何通り考えられるか。

どうせ二兎追わねばならぬなら?

dino

ディノ

おお~、絶対値だぁ~。
Lukia_74

Lukia

ディノさんッ!(汗)いつの間に・・・。
dino

ディノ

オレ、結構鼻がきくのよ?( ̄ー ̄)ニヤリッ
Lukia_74

Lukia

そ、そ、そ、そうなんですねッ・・・。
dino

ディノ

でも、これ、難しそうだな。
Lukia_74

Lukia

そうですねぇ。実際に積分することまでは求められていないのですが、
何通りあるのか。を考えなくてはならないので、そこがちょっと難しいですよね。
ここで、ディノさんに質問です。
「二兎追う者は一兎をも得ず。」ということわざがありますが、
ウサギ小屋に二羽のウサギがいたとして、そのウサギを捕まえなくてはならないとき、ディノさんなら、どうしますか?
dino

ディノ

う~ん、二羽とも小屋の中にいるんだから、逃げる心配はないよな。
だとしたら、ひとまず、一羽を捕まえることに集中して、そのあともう一羽を捕まえるかな。
Lukia_74

Lukia

言ってみれば、\( \ a \ \)と\( \ b \ \)はウサギです。
そして、\( \ 0 \ \)以上\( \ 1 \ \)以下というのが、いわばウサギ小屋ですね。
dino

ディノ

なるほど。ウサギ\( \ a \ \)の位置を固定しておいて、その後、ゆっくりウサギ\( \ b \ \)の位置を考えればいいわけだ。
フフフフ・・・。( ̄ー ̄)
Lukia_74

Lukia

ディノさん、悪い顔になってますッ!(汗)

ウサギaの位置を考える。

Lukia_74

Lukia

まずは、ウサギ\( \ a \ \)のことだけを考えてみましょう。
\( \ 0 \leqq a \leqq 1 \ \)として、どんな場合が考えられますか?
dino

ディノ

\( \ a=0 \ \)と、
\( \ 0 \lt a \lt 1 \ \)と、
\( \ a=1 \ \)だな。
Lukia_74

Lukia

その通りです。
二羽のウサギの間には、\( \ a \leqq b \ \)という関係が成り立っていますね。
ウサギ\( \ a \ \)は、ウサギ\( \ b \ \)より小さいか、全く同じ大きさか。
ウサギ\( \ a \ \)の位置を決めてやらなければ、ウサギ\( \ b \ \)の位置を定めるのは難しいですよね。
Lukia_74

Lukia

以下、
Ⅰ \( \ a=0 \ \)
Ⅱ \( \ 0 \lt a \lt 1 \ \)
Ⅲ \( \ a=1 \ \) としましょう。

ウサギbの位置を考える。

Lukia_74

Lukia

ウサギ\( \ b \ \)について、不等号を使って表すとしたら、どうなりますか?
dino

ディノ

\( \ 0 \ \)と\( \ 1 \ \)に挟まれる。というよりは、
ウサギ\( \ a \ \)と\( \ 1 \ \)に挟まれる。って感じだよな。
じゃ、\( \ a \leqq b \leqq 1 \ \)かな?
Lukia_74

Lukia

そうですね。
ⅰ \( \ a=b \ \)
ⅱ \( \ a \lt b \lt 1 \ \)
ⅲ \( \ b=1 \ \) と考えられますね。
dino

ディノ

おっ、じゃ、ウサギ\( \ a \ \)が3通りあって、
ウサギ\( \ b \ \)が3通りだから、
\( \ 3\times 3=9 \ \) で、9通りか?
Lukia_74

Lukia

じゃ、それは実際に場合分けをして、考えてみましょう。

Iを考える。

$$\begin{align}Ⅰ\quad \quad &a=0\quad について, \\\\ &ⅰ\quad a=b \\\\ &ⅱ\quad  a \lt b \lt 1\\\\ &ⅲ\quad b=1\quad を考える. \end{align}$$

Ⅰ-ⅰ

$$\begin{align}a=b=0&\quad より, \\\\ \mathrm{I}_1=&\int_{0}^{1} x^2 dx \end{align}$$

Ⅰ-ⅱ

$$\begin{align}a=0 \ ,&a \lt b \lt 1\quad より, \\\\ \mathrm{I}_2=&\int_{0}^{1} \vert x\left( x-b\right) \vert dx \end{align}$$

Ⅰ-ⅲ

$$\begin{align}a=0 \ ,&b=1\quad より, \\\\ \mathrm{I}_3=&\int_{0}^{1} \vert x\left( x-1\right) \vert dx \end{align}$$

Ⅱを考える。

$$\begin{align}Ⅱ\quad \quad &0 \lt a \lt 1\quad について, \\\\ &ⅰ\quad a=b \\\\ &ⅱ\quad  a \lt b \lt 1\\\\ &ⅲ\quad b=1\quad を考える. \end{align}$$

Ⅱ-ⅰ

$$\begin{align}0 \lt a=b \lt 1&\quad より, \\\\ \mathrm{I}_4=&\int_{0}^{1} \left( x-a\right)^2 dx \end{align}$$

Ⅱ-ⅱ

$$\begin{align}0 \lt a \lt b \lt 1&\quad より, \\\\ \mathrm{I}_5=&\int_{0}^{1} \vert \left( x-a\right)\left( x-b\right) \vert dx \end{align}$$

Ⅱ-ⅲ

$$\begin{align}0 \lt a \lt 1 \ ,&b=1\quad より, \\\\ \mathrm{I}_6=&\int_{0}^{1} \vert \left( x-a\right)\left( x-1\right) \vert dx \end{align}$$

Ⅲを考える。

$$\begin{align}Ⅲ\quad \quad &0 \lt a \lt 1\quad について, \\\\ &ⅰ\quad a=b \\\\ &ⅱ\quad  a \lt b \lt 1\\\\ &ⅲ\quad b=1\quad を考える. \end{align}$$

Ⅲ-ⅰ

$$\begin{align}a=b=1&\quad より, \\\\ \mathrm{I}_7=&\int_{0}^{1} \left( x-1\right)^2 dx \end{align}$$

Ⅲ-ⅱ

$$\begin{align}a=1 \lt b \lt 1&\quad は範囲に矛盾があるため,\quad 不適. \end{align}$$

Ⅲ-ⅲ

$$\begin{align}a=b=1&\quad は,\quad Ⅲ-ⅰ\quad に同じ。\end{align}$$

Ⅰ~Ⅲをまとめる。

$$\begin{align}Ⅰ~Ⅲより,& \\\\ 定積分 \ \mathrm{I}&\quad は\quad 7 \ 通り考えられる。\end{align}$$

こたえ

7通り

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