高校数学の「中央値の場合分け」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
2019年4月17日データの分析実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

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ただし、\( \ a \ \)は\( \ 0 \ \)以上の整数である。
\( \ 37 \ , \ 31 \ , \ 38 \ , \ 27 \ , \ 41 \ , \ 35 \ , \ 30 \ , \ a \ \)冊
\( \ a \ \)の値がわからないとき、中央値は何通り考えられるか。
定数aの入る位置を考える。
a を除く7つのデータを左から小さい順に並べると以下の通り.
$$27 \ , \ 30 \ , \ 31 \ , \ 35 \ , \ 37 \ , \ 38 \ , \ 41$$
$$また,\quad {8} \equiv {0} \pmod {4}\quad より$$
中央値は左から4番目と5番目のデータの平均であり,
a が入るのは①~⑧の8ヶ所が考えられる。
a を①から⑧の位置に入れて、8つのデータを左から小さい順に並べたものが以下の表である。
$$\alpha$$ | $$\beta$$ | |||||||
① | a | 27 | 30 | 31 | 35 | 37 | 38 | 41 |
② | 27 | a | 30 | 31 | 35 | 37 | 38 | 41 |
③ | 27 | 30 | a | 31 | 35 | 37 | 38 | 41 |
④ | 27 | 30 | 31 | a | 35 | 37 | 38 | 41 |
⑤ | 27 | 30 | 31 | 35 | a | 37 | 38 | 41 |
⑥ | 27 | 30 | 31 | 35 | 37 | a | 38 | 41 |
⑦ | 27 | 30 | 31 | 35 | 37 | 38 | a | 41 |
⑧ | 27 | 30 | 31 | 35 | 37 | 38 | 41 | a |
$$\begin{align}左から&小さい順に並べて \ 4番目の数を\quad \alpha \\\\左から&小さい順に並べて \ 5番目の数を\quad \beta\quad とする.\\\\ 中央値は&\quad \frac{\alpha+\beta}{2}\quad で求められ, \\\\ 大きく&4つの場合が考えられる.\\\\ 1:\quad &\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{31+35}{2}=33\quad ①~③\\\\ 2:\quad &\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{a+35}{2}\quad ④\\\\ 3:\quad &\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{35+a}{2}\quad ⑤\\\\ 4:\quad &\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{35+37}{2}=36\quad ⑥~⑧\end{align}$$
以下、aが④の位置にある場合と、aが⑤の位置にある場合の中央値を求める.
aが④の位置にある場合の中央値を求める。
$$\begin{align}31 \lt a \leq 35&\quad のとき, \\\\ a=&32 \ , \ 33 \ , \ 34 \ , \ 35\quad が考えられる. \\\\ \frac{a+35}{2}=&\frac{\color{#0004fc}{32}+35}{2} \ , \\\\ \frac{a+35}{2}=&\frac{\color{#0004fc}{33}+35}{2} \ , \\\\ \frac{a+35}{2}=&\frac{\color{#0004fc}{34}+35}{2} \ , \\\\ \frac{a+35}{2}=&\frac{\color{#0004fc}{35}+35}{2}\ \\\\ 中央値は&33.5 \ , \ 34 \ , \ 34.5 \ , \ 35\quad の4通り. \end{align}$$
aが⑤の位置にある場合の中央値を求める。
$$\begin{align}35 \lt a \leq 37&\quad のとき, \\\\ a=&36 \ , \ 37\quad が考えられる. \\\\ \frac{35+a}{2}=&\frac{35+\color{#0004fc}{36}}{2} \ , \\\\ \frac{35+a}{2}=&\frac{35+\color{#0004fc}{37}}{2}\ \\\\ 中央値は&35.5 \ , \ 36\quad の2通り. \end{align}$$
以上より考えられる中央値は,
$$33 \ , \ 33.5 \ , \ 34 \ , \ 34.5 \ , \ 35 \ , \ 35.5 \ , \ 36$$
の7通り.
こたえ
7通り
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