高校数学の「中央値の場合分け」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

データの分析Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , データの分析 , 中央値 , 場合分け , 数学検定準2級

問題

problem

 

ある本屋で1日あたりに売れた雑誌の冊数を8日間調べた結果である。
ただし、\( \ a \ \)は\( \ 0 \ \)以上の整数である。
\( \ 37 \ , \ 31 \ , \ 38 \ , \ 27 \ , \ 41 \ , \ 35 \ , \ 30 \ , \ a \ \)冊
\( \ a \ \)の値がわからないとき、中央値は何通り考えられるか。

定数aの入る位置を考える。

a を除く7つのデータを左から小さい順に並べると以下の通り.
$$27 \ , \ 30 \ , \ 31 \ , \ 35 \ , \ 37 \ , \ 38 \ , \ 41$$
$$また,\quad {8} \equiv {0} \pmod {4}\quad より$$
中央値は左から4番目と5番目のデータの平均であり,
a が入るのは①~⑧の8ヶ所が考えられる。

a を①から⑧の位置に入れて、8つのデータを左から小さい順に並べたものが以下の表である。

$$\alpha$$ $$\beta$$
a 27 30 31 35 37 38 41
27 a 30 31 35 37 38 41
27 30 a 31 35 37 38 41
27 30 31 a 35 37 38 41
27 30 31 35 a 37 38 41
27 30 31 35 37 a 38 41
27 30 31 35 37 38 a 41
27 30 31 35 37 38 41 a

$$\begin{align}左から&小さい順に並べて \ 4番目の数を\quad \alpha \\左から&小さい順に並べて \ 5番目の数を\quad \beta\quad とする.\\ \\ 中央値は&\quad \frac{\alpha+\beta}{2}\quad で求められ, \\ 大きく&4つの場合が考えられる.\\ \\ 1:\quad &\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{31+35}{2}=33\quad ①~③\\ \\ 2:\quad &\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{a+35}{2}\quad ④\\ 3:\quad &\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{35+a}{2}\quad ⑤\\ 4:\quad &\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{35+37}{2}=36\quad ⑥~⑧\end{align}$$

以下、aが④の位置にある場合と、aが⑤の位置にある場合の中央値を求める.

aが④の位置にある場合の中央値を求める。

$$\begin{align}31 \lt a \leqq 35&\quad のとき, \\ a=&32 \ , \ 33 \ , \ 34 \ , \ 35\quad が考えられる. \\ \frac{a+35}{2}=&\frac{\color{#0004fc}{32}+35}{2} \ , \ \frac{\color{#0004fc}{33}+35}{2} \ , \ \frac{\color{#0004fc}{34}+35}{2} \ , \ \frac{\color{#0004fc}{35}+35}{2}\\ \\ 中央値は&33.5 \ , \ 34 \ , \ 34.5 \ , \ 35\quad の4通り. \end{align}$$

aが⑤の位置にある場合の中央値を求める。

$$\begin{align}35 \lt a \leqq 37&\quad のとき, \\ a=&36 \ , \ 37\quad が考えられる. \\ \frac{35+a}{2}=&\frac{35+\color{#0004fc}{36}}{2} \ , \ \frac{35+\color{#0004fc}{37}}{2}\\ \\ 中央値は&35.5 \ , \ 36\quad の2通り. \end{align}$$
以上より考えられる中央値は,
$$33 \ , \ 33.5 \ , \ 34 \ , \ 34.5 \ , \ 35 \ , \ 35.5 \ , \ 36$$
の7通り.

こたえ

7通り

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