高校数学の「平面ベクトル(比較的やさしい)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

ベクトルYahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 平面ベクトル , 内分比を統一 , 数学検定2級

問題

problem

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\)は、\(\mathrm{AB}=2\), \(\mathrm{BC}=\sqrt{10}\), \(\mathrm{CA}=\sqrt{6}\) である.
辺\(\mathrm{AB}\)を\(2:1\)に内分する点を\(\mathrm{D}\),
辺\(\mathrm{AC}\)を\(a:\left( 1-a\right)\)(ただし \(0 \lt a \lt 1\) )に内分する点を\(\mathrm{E}\),
直線\(\mathrm{BE}\)と\(\mathrm{CD}\)の交点を\(\mathrm{P}\)とする.(1)
\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\left( 1-t\right)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) (\(t\) は実数)とおくとき,\(t\)を\(a\)を用いて表せ。
(2)
\(\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}\)となるとき,内積\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}\)を求めよ。
(3)
\(\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}\)のときの\(a\)の値を求めよ。

準備をしよう。

Lukia_74

Lukia

三角形を描き、情報を書き込んでいくとともに、
\(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)を\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)を用いて表したり、
内積\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\)を求めておきましょう。


$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=a\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$
$$\begin{align}\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert}=&\cos \angle \mathrm{BAC} \\\\ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{2\sqrt{6}}=&\frac{2^2+\left( \sqrt{6}\right)^2-\left( \sqrt{10}\right)^2}{2\cdot 2\sqrt{6}}=0 \\\\ \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=&0 \end{align}$$
さらに,
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot a\overrightarrow{\mathrm{AC}}=a\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$$

(1)を解く。

Lukia_74

Lukia

頂点\(\mathrm{A}\)が2通りの内分比で示されているので、
内分比を統一していきます。
すると、下の図の紫色の文字で示す新たな内分比が示されます。


$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AP}}=&\frac{1}{3-2a}\lbrace 2\left( 1-a\right)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}\rbrace \quad より\\\\ t=&\frac{1}{3-2a} \end{align}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}線分\mathrm{}は,&線分\mathrm{}と垂直に交わっているといえるので, \\\\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=&0\end{align}$$

(3)を解く。

(2)より,
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=&0\\\\ \frac{1}{3-2a}\lbrace 2\left( 1-a\right)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}\rbrace\cdot \left( \overrightarrow{\mathrm{AE}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)=&0\end{align}$$
$$\begin{align}ここで,\quad 1 \lt &3-2a \lt 3\quad であるから \\\\ 両辺を \ \left( 3-2a\right)&倍する.\end{align}$$
$$\begin{align}2\left( 1-a\right)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}+\vert \overrightarrow{\mathrm{AE}} \vert^2-2\left( 1-a\right)\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=&0 \\\\ \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=&0\quad より\\\\ 6a^2+8a-8=&0\\\\ 3a^2+4a-4=&0\\\\ \left( a+2\right)\left( 3a-2\right)=&0\\\\ a=-2\quad ,\quad a=\frac{2}{3}&\\\\ 0 \lt a \lt 1 \ より& \ a=\frac{2}{3} \end{align}$$

こたえ

(1) (2) (3)
$$t=\frac{1}{3-2a}$$ $$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=0$$ $$a=\frac{2}{3}$$

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