高校数学の「三角比と図形(余弦定理・正弦定理の利用)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

図形と計量Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 三角比 , 図形と計量 , 正弦定理 ,余弦定理 , 数学検定準2級

問題

problem

\(\triangle \mathrm{ABC}\)において辺\(\mathrm{AC}\)が\(\sqrt{3}-1\), 辺\(\mathrm{BC}\)が\(2\), \(\angle \mathrm{C}=120^{\circ}\)とする.
このとき、\(\angle \mathrm{A}\)の大きさを求めよ.

余弦定理で辺ABの大きさを求める。

$$\begin{align}\angle \mathrm{A}=&\theta \ とする. \\\\ また \ \theta \ は,0 \lt &\theta \lt 90^{\circ} \ である. \\\\ 余弦定理より& \\\\ \mathrm{AB}^2=&\left( \sqrt{3}-1\right)^2+2^2-2\cdot 2\left( \sqrt{3}-1\right)\times -\frac{1}{2}\\\\ =&4-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}-2 \\\\ =&6\\\\ \\\\ ここで \ \mathrm{AB}& \gt 0 \ より\\\\ AB=&\sqrt{6} \end{align}$$

正弦定理で角Aの大きさを求める。

$$\begin{align} 正弦定理より&\\\\ \frac{\sin \angle \mathrm{C}}{\mathrm{AB}}=&\frac{\sin \angle \mathrm{A}}{\mathrm{BC}}=\frac{\sin \theta}{\mathrm{BC}} \\\\ \sin \theta=&\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\sin \angle \mathrm{C}\\\\ =&\frac{2}{\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\\\ =&\frac{\sqrt{2}}{2} \end{align}$$
$$ゆえに \ \theta=\angle \mathrm{A}=45^{\circ}$$

こたえ


$$\angle \mathrm{A}=45^{\circ}$$

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