高校数学の「平面ベクトル(書き換え練習)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

ベクトルYahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 平面ベクトル , 数学検定2級

問題

problem

\(\triangle \mathrm{OAB}\)において、辺\(\mathrm{AB}\)を\(1:4\)に内分する点を\(\mathrm{C}\)とする.また、点\(\mathrm{P}\)を\(2\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}\)を満たすようにとり、点\(\mathrm{Q}\)を\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=3\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)を満たすようにとる。
(1) \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)を\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}\)を用いて表せ。
また、\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)を\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}\)を用いて表せ。
(2) \(\overrightarrow{\mathrm{QC}}\)を\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}\)を用いて表せ。
また\(\vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert=2, \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert=1, \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OP}} \vert=\frac{\sqrt{13}}{5}\)であるとき、内積\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\)を求めよ。
(3) (2)のとき、辺\(\mathrm{OA}\)と直線\(\mathrm{CQ}\)の交点を\(\mathrm{R}\)とする。\(\overrightarrow{\mathrm{OR}}\)を\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)を用いて表せ。また、内積\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}\)を求めよ。

(1)を解く。


$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$

$$\begin{align}\\\\ 2\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3\overrightarrow{\mathrm{BP}}=&\overrightarrow{\mathrm{0}} \\\\ 2\overrightarrow{\mathrm{OP}}-2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OP}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}=&\overrightarrow{\mathrm{0}} \\\\ 5\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\\\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&\frac{1}{5}\left( 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right) \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

全体としてベクトルを別のベクトルを使って表現しなおすだけなので、
平面ベクトルの中でも、かなり基礎的な問題であるといえます。

(2)を解く。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{QC}}=&\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \\\\ =&\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OP}} \\\\ =&\frac{1}{5}\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}}-6\overrightarrow{\mathrm{OA}}-9\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)\\\\ =&-\frac{1}{5}\left( 5\overrightarrow{\mathrm{OA}}+9\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right) \end{align}$$
$$\begin{align}\vert \overrightarrow{\mathrm{OP}} \vert^2=&\frac{4}{25}\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert^2+2\cdot \frac{3}{25}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{9}{25}\vert\overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert^2 \\\\ \frac{13}{25}=&\frac{1}{25}\left( 16+12\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+9\right) \\\\ 12\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&-25+13=-12\\\\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&-1 \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

\(\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert}=-\frac{1}{2}\)より、
辺\(\mathrm{OA}\)と辺\(\mathrm{OB}\)のなす角は\(120^{\circ}\)とわかります。

(3)を解く。

Lukia_74

Lukia

図によると、辺\(\mathrm{OA}\)と直線\(\mathrm{CQ}\)が交わるのは、
点\(\mathrm{C}\)のみなので・・・

$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=&3\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}} \\\\ =&\frac{1}{5}\left( 6\overrightarrow{\mathrm{OA}}+9\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)\cdot \frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}} \\\\ =&\frac{1}{25}\left( 6\cdot 4+9\cdot \left( -1\right)\right)\\\\ =&\frac{15}{25} \\\\ =&\frac{3}{5} \end{align}$$

こたえ


(1)
$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{5}\left( 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$$
(2)
$$\overrightarrow{\mathrm{QC}}=-\frac{1}{5}\left( 5\overrightarrow{\mathrm{OA}}+9\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$$
(3)
$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{3}{5} $$

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