Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「進数」に関する問題を解いてみる。

2018年9月29日2023年1月15日整数の性質実用数学技能検定（数学検定数検),数検2級,数検準2級

読了時間: 約2分2秒

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問題

$n$は2以上の自然数とする。次の問いに答えよ。
$\left( 1\right) 10進数の54をn進法で表すと、66_\left( n\right)となる。nの値を求めよ。$
$\left( 2\right) 10進数の123をn進法で表すと、146_\left( n\right)となる。nの値を求めよ。$

（1）を解く。

Lukia

生まれてこの方10進数の世界で生きてきたのに、
突然$n$進数などといわれても戸惑うことでしょう。
ひとまず、54を$54_\left( 10\right)$ として、表で表してみましょう。
表を書く手順を覚えれば、たとえ$n$進法でも書けるはずです。

10進数を10進数で表してみる。

$$54_\left( 10\right)=10^1\times 5+10^0\times 4 とも表せるから、$$

$$10進数（指数つき）$$	$$10^1$$	$$10^0$$
$$10進数$$	$$10$$	$$1$$
位の数	$$5$$	$$4$$

n進数を10進数で表してみる。

Lukia

上にならって、$66_\left( n\right)$　を表で表し、式に直します。

$$n進数$$	$$n^1$$	$$n^0$$
$$10進数$$	$$n$$	$$1$$
位の数	$$6$$	$$6$$

$$表より、66_\left( n\right)=\left( 6n+6\right)_\left( 10\right)　と表せる。$$

問題を解く。

$$\begin{align}66_\left( n\right)=6n+6=&54 \\\\ n+1=&9 \\\\ n=&8 \end{align}$$

$$\Large こたえ：　n=8$$

（2）を解く。

Lukia

さっそく表を書いて、
$n$進数を$10$進数に直しましょう。

$$n進数$$	$$n^2$$	$$n^1$$	$$n^0$$
$$10進数$$	$$n^2$$	$$n$$	$$1$$
$$位の数$$	$$1$$	$$4$$	$$6$$

$$表より、146_\left( n\right)=\left( n^2+4n+6\right)_\left( 10\right)　と表せる。$$

$$\begin{align}146_\left( n\right)=n^2+4n+6=&123 \\\\ n^2+4n-117=&0 \\\\ \left( n+13\right)\left( n-9\right)=&0\\\\ ただし、nは自然数であるから、n=&9 \end{align}$$
$$\Large こたえ：　n=9$$

こたえ

$$\left( 1\right)　　n=8$$
$$\left( 2\right)　　n=9$$

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プロフィール

Author Profile

Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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