高校数学の「線形計画法」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 図形と方程式 , 線形計画法 ,  数学検定2級

問題

problem

 

ある工場で、二種類の製品A, Bを作っている。
製品AとBは、それぞれ1トン作るのに、以下の表のとおり材料P,Qを必要とする。
さらに、販売価格は製品A,Bの1トン当たりの金額である。

材料P 材料Q 販売価格
製品A 3トン 1トン 2万円
製品B 1トン 2トン 1万円

材料Pが一日当たり最大9トンまで、また、材料Qが一日当たり最大8トンまで仕入れることができるとき、
一日当たりの販売価格を最大にするには、製品Aと製品Bをそれぞれ何トン作ればよいか。

Lukia_74

Lukia

2019年冬ドラマ『初恋はじこい (初めて恋した日に読む話)』にて、「線形計画法」という言葉を知ったので、
うれしげにもう一問解いてみようと思います。(笑)

製品Aは、Aトン/日 製造され、
製品Bは、Bトン/日 製造されるものとする。

この工場の一日の売り上げ価格は、2A+B (万円)と表される。

材料Pは、一日当たり 3A+B トン必要であり、
材料Qは、一日当たり A+2B トン必要である。

$$\begin{align}以上より、&\mathrm{A} \geqq 0\quad \cdots\cdots\quad ① \\ &\mathrm{B} \geqq 0\quad \cdots\cdots\quad ② \\ 0 \leqq &\mathrm{P} \leqq 9\quad \cdots\cdots\quad ③\\ 0 \leqq &\mathrm{Q} \leqq 8\quad \cdots\cdots\quad ④ \end{align}$$
③より
$$\begin{align}0 \leqq &\mathrm{P} \leqq 9 \\ 0 \leqq &3\mathrm{A}+\mathrm{B} \leqq 9\end{align}$$
④より
$$\begin{align}0 \leqq &\mathrm{Q} \leqq 8\\ 0 \leqq &\mathrm{A}+2\mathrm{B} \leqq 8\end{align}$$

$$ここで,\quad \mathrm{A}=x\quad ,\quad \mathrm{B}=y\quad とおく.$$

①~④は,
$$\begin{align}&x \geqq 0\quad \cdots\cdots\quad ① \\ &y \geqq 0\quad \cdots\cdots\quad ② \\ 0 \leqq &3x+y \leqq 9\quad \cdots\cdots\quad ③\\ 0 \leqq &x+2y \leqq 8\quad \cdots\cdots\quad ④ \end{align}$$
と表される.
また、この工場の一日当たりの売り上げ価格を
$$2x+y=k\quad \left( kは\quad k \gt 0 \ の実数\right)\quad \cdots\cdots\quad ⑤とおく.$$

①~④で示される領域は以下の図のピンク色で塗りつぶされた部分。(境界は含まれる)

$$\begin{align}⑤を変形して,&\quad y=-2x+k\quad とすると \\ k& \ の最大値は,点\left( 2 \ , \ 3\right)\quad を通るときに得られる. \\ 3=&-2\times 2+k\\ すなわち,&\quad k=7 \end{align}$$
以上より, 一日当たり 製品Aを2トン, 製品Bを3トン 製造すればよい.

こたえ

製品A 製品B
2トン 3トン

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