高校数学の「線形計画法」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

Lukia

2019年冬ドラマ『初恋はじこい　（初めて恋した日に読む話）』にて、「線形計画法」という言葉を知ったので、
うれしげにもう一問解いてみようと思います。（笑）

製品Aは、Aトン/日　製造され、
製品Bは、Bトン/日　製造されるものとする。

この工場の一日の売り上げ価格は、2A+B （万円）と表される。

材料Pは、一日当たり　3A+B トン必要であり、
材料Qは、一日当たり　A+2B トン必要である。

$$\begin{align}以上より、&\mathrm{A} \geq 0\quad \cdots\cdots\quad ① \\\\ &\mathrm{B} \geq 0\quad \cdots\cdots\quad ② \\\\ 0 \leq &\mathrm{P} \leq 9\quad \cdots\cdots\quad ③\\\\ 0 \leq &\mathrm{Q} \leq 8\quad \cdots\cdots\quad ④ \end{align}$$
③より
$$\begin{align}0 \leq &\mathrm{P} \leq 9 \\\\ 0 \leq &3\mathrm{A}+\mathrm{B} \leq 9\end{align}$$
④より
$$\begin{align}0 \leq &\mathrm{Q} \leq 8\\\\ 0 \leq &\mathrm{A}+2\mathrm{B} \leq 8\end{align}$$

$$ここで,\quad \mathrm{A}=x\quad ,\quad \mathrm{B}=y\quad とおく.$$

①～④は,
$$\begin{align}&x \geq 0\quad \cdots\cdots\quad ① \\\\ &y \geq 0\quad \cdots\cdots\quad ② \\\\ 0 \leq &3x+y \leq 9\quad \cdots\cdots\quad ③\\\\ 0 \leq &x+2y \leq 8\quad \cdots\cdots\quad ④ \end{align}$$
と表される.
また、この工場の一日当たりの売り上げ価格を
$$2x+y=k\quad \left( kは\quad k \gt 0 \ の実数\right)\quad \cdots\cdots\quad ⑤とおく.$$

①～④で示される領域は以下の図のピンク色で塗りつぶされた部分。（境界は含まれる）

$$\begin{align}⑤を変形して,&\quad y=-2x+k\quad とすると \\\\ k& \ の最大値は,点\left( 2 \ , \ 3\right)\quad を通るときに得られる. \\\\ 3=&-2\times 2+k\\\\ すなわち,&\quad k=7 \end{align}$$
以上より,　一日当たり　製品Aを2トン,　製品Bを3トン　製造すればよい.

こたえ