Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「三角比と図形」に関する問題を解いてみる。(ちょっと難しい?)

2018年9月28日図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

読了時間: 約343

問題
\(\triangle \mathrm{ABC}\)において、
\(\sin \angle\mathrm{A}=\displaystyle\frac{4}{5} , \angle\mathrm{B}=30^{\circ} , a=16\) のとき、
辺\(b , c\) の長さを求めよ。

解法

Left Caption

Lukia

まずは、適当な三角形を描いて、わかっている情報を書き込んでみましょう。

正弦定理を用いて。

Left Caption

Lukia

正弦定理を用いれば、辺\(b\)の長さが求まりますね。

$$\begin{align}正弦定理より& \\\\ \displaystyle\frac{\sin \angle\mathrm{B}}{\sin \angle\mathrm{A}}=&\displaystyle\frac{b}{a} \\\\ b=&\displaystyle\frac{\sin \angle\mathrm{B}}{\sin \angle\mathrm{A}}\cdot a\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\times \displaystyle\frac{5}{4}\times 16\\\\ =&10 \end{align}$$
$$\Large ゆえに b=10$$

余弦定理を用いて。

Left Caption

Lukia

\(\angle\mathrm{B}\) に関する余弦定理を用いて、
辺\(c\) の長さを求めてみます。

$$\Large \color{red}{\cos \angle\mathrm{B}=\displaystyle\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}} より、$$
$$\begin{align}\cos \angle\mathrm{B}=&\displaystyle\frac{c^2+16^2-10^2}{2c\cdot 16} \\\\ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2\cdot 16c=&c^2+4\cdot 4^3-4\cdot 25 \\\\ 16\sqrt{3}c=&c^2+4\times 39 \end{align}$$
$$\begin{align}c^2-16\sqrt{3}c=&-4\times 39 \\\\ \left( c-8\sqrt{3}\right)^2-64\times 3=&-4\times 39 \\\\ \left( c-8\sqrt{3}\right)^2=&12\left( 16-13\right)=36\\\\ c-8\sqrt{3}=& \pm 6\\\\ c=&8\sqrt{3} \pm 6 \end{align}$$

辺cの大きさはどちらも正しいの?

Left Caption

Lukia

問題には、\(\sin \angle\mathrm{A}=\displaystyle\frac{4}{5}\) とあるだけで、
\(\angle\mathrm{A}\)は、鋭角なのか鈍角なのかは書かれていません。
つまり、それぞれ場合分けをして本当に三角形として成立するかを確かめる必要があるので、ちょっと難しいのです。

辺cの大きさをはっきりイメージしてみる。

$$\begin{align}8\sqrt{3}=&\sqrt{192} より、\\\\ 13 \lt &8\sqrt{3} \lt 14 \\\\ ⅰ) 13+6 \lt &8\sqrt{3}+6 \lt 14+6\\\\ すなわち、19 \lt &8\sqrt{3}+6 \lt 20 \\\\ ⅱ)13-6 \lt &8\sqrt{3}-6 \lt 14-6\\\\ すなわち、7 \lt &8\sqrt{3}-6 \lt 8 \end{align}$$

Left Caption

Lukia

今回の辺\(c\)の大きさは、どちらも\(c \gt 0\) は満たしているので、ひとまずは問題なさそうですね。
ちなみに、数直線上に三つの辺を表してみると、以下のようになります。

Left Caption

Lukia

この数直線を見ると、辺\(a\)が最大辺になる場合と、
辺\(c\)が最大辺になる場合がありますね。

∠Aが最大角の場合

$$\begin{align}\angle\mathrm{A}が最大角のとき、& 辺a が最大辺となる。\\\\ c \lt a かつ、a \lt b+c&が成り立つ必要がある。 \\\\ \ a-b \lt &c \lt a\\\\ すなわち、6 \lt &c \lt 16  を満たすcは、 \\\\ & \ c=8\sqrt{3}-6 \end{align}$$

∠Cが最大角の場合

$$\begin{align}\angle\mathrm{C}が最大角のとき、& 辺c が最大辺となる。\\\\ c \gt a かつ、c \lt a+b&が成り立つ必要がある。 \\\\ \ a \lt &c \lt a+b\\\\ すなわち、16 \lt &c \lt 26  を満たすcは、 \\\\ & \ c=8\sqrt{3}+6 \end{align}$$

Left Caption

Lukia

結果、辺\(c\) の値はどちらも正しかったので、
調べなくてもいいじゃん。と思いがちですが、
問題によっては、どちらかが不適になる場合もあります。
出題者は、こういうところまで気持ちが行き届いている人物なのかどうかを試しています。
入試の場合は、よいピーアールになりますので、きちんと場合分けをして調べましょう。

こたえ

$$\Large b=10$$
$$\Large c=8\sqrt{3} \pm 6$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

カテゴリー

2018年9月28日図形と計量実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

Posted by Lukia_74