Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「三角比と図形」に関する問題を解いてみる。(ちょっと難しい?)

図形と計量Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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問題

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\(\triangle \mathrm{ABC}\)において、
\(\sin \angle\mathrm{A}=\frac{4}{5} , \angle\mathrm{B}=30^{\circ} , a=16\) のとき、
辺\(b , c\) の長さを求めよ。

解法

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Lukia

まずは、適当な三角形を描いて、わかっている情報を書き込んでみましょう。

正弦定理を用いて。

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Lukia

正弦定理を用いれば、辺\(b\)の長さが求まりますね。

$$\begin{align}正弦定理より& \\ \frac{\sin \angle\mathrm{B}}{\sin \angle\mathrm{A}}=&\frac{b}{a} \\ b=&\frac{\sin \angle\mathrm{B}}{\sin \angle\mathrm{A}}\cdot a\\ =&\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}\times 16\\ =&10 \end{align}$$
$$\Large ゆえに b=10$$

余弦定理を用いて。

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Lukia

\(\angle\mathrm{B}\) に関する余弦定理を用いて、
辺\(c\) の長さを求めてみます。

$$\Large \color{red}{\cos \angle\mathrm{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}} より、$$
$$\begin{align}\cos \angle\mathrm{B}=&\frac{c^2+16^2-10^2}{2c\cdot 16} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}\times 2\cdot 16c=&c^2+4\cdot 4^3-4\cdot 25 \\ 16\sqrt{3}c=&c^2+4\times 39 \end{align}$$
$$\begin{align}c^2-16\sqrt{3}c=&-4\times 39 \\ \left( c-8\sqrt{3}\right)^2-64\times 3=&-4\times 39 \\ \left( c-8\sqrt{3}\right)^2=&12\left( 16-13\right)=36\\ c-8\sqrt{3}=& \pm 6\\ c=&8\sqrt{3} \pm 6 \end{align}$$

辺cの大きさはどちらも正しいの?

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Lukia

問題には、\(\sin \angle\mathrm{A}=\frac{4}{5}\) とあるだけで、
\(\angle\mathrm{A}\)は、鋭角なのか鈍角なのかは書かれていません。
つまり、それぞれ場合分けをして本当に三角形として成立するかを確かめる必要があるので、ちょっと難しいのです。

辺cの大きさをはっきりイメージしてみる。

$$\begin{align}8\sqrt{3}=&\sqrt{192} より、\\ 13 \lt &8\sqrt{3} \lt 14 \\ &\\ⅰ) 13+6 \lt &8\sqrt{3}+6 \lt 14+6\\ すな&わち、19 \lt 8\sqrt{3}+6 \lt 20 \\ⅱ)13-6 \lt &8\sqrt{3}-6 \lt 14-6\\ すな&わち、7 \lt 8\sqrt{3}-6 \lt 8 \end{align}$$

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Lukia

今回の辺\(c\)の大きさは、どちらも\(c \gt 0\) は満たしているので、ひとまずは問題なさそうですね。
ちなみに、数直線上に三つの辺を表してみると、以下のようになります。

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Lukia

この数直線を見ると、辺\(a\)が最大辺になる場合と、
辺\(c\)が最大辺になる場合がありますね。

∠Aが最大角の場合

$$\begin{align}\angle\mathrm{A}が最大角のとき、& 辺a が最大辺となる。\\ c \lt a かつ、a \lt b+c&が成り立つ必要がある。 \\ & \\ a-b \lt &c \lt a\\ すなわち、6 \lt &c \lt 16  を満たすcは、 \\ & \\ c=8\sqrt{3}-6 \end{align}$$

∠Cが最大角の場合


$$\begin{align}\angle\mathrm{C}が最大角のとき、& 辺c が最大辺となる。\\ c \gt a かつ、c \lt a+b&が成り立つ必要がある。 \\ & \\ a \lt &c \lt a+b\\ すなわち、16 \lt &c \lt 26  を満たすcは、 \\ & \\ c=8\sqrt{3}+6 \end{align}$$

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Lukia

結果、辺\(c\) の値はどちらも正しかったので、
調べなくてもいいじゃん。と思いがちですが、
問題によっては、どちらかが不適になる場合もあります。
出題者は、こういうところまで気持ちが行き届いている人物なのかどうかを試しています。
入試の場合は、よいピーアールになりますので、きちんと場合分けをして調べましょう。

こたえ

$$\Large b=10$$
$$\Large c=8\sqrt{3} \pm 6$$

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