高校数学の「数列（漸化式）」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2018年12月4日2023年1月14日数列実用数学技能検定（数学検定数検),数検2級,数検準1級

読了時間: 約2分18秒

[mathjax]

問題

数列

{d_{n}}

は、
漸化式　

d_{n} = \frac{a_{n}}{n (n + 1)} (n = 1, 2, 3, \dots)

　を満たすとする.
ここで、

a_{n} = (2 n - 1) 3^{n}

　である。

$\frac{2 n - 1}{n (n + 1)} = \frac{ツ}{n + 1} - \frac{テ}{n}$ 　であるから、

${d_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $\sum_{k = 1}^{n} d_{k}$ を求めると
$- ト + \frac{3^{n + ナ}}{n + ニ}$ 　である。

部分分数分解をする。

$\begin{aligned} \frac{2 n - 1}{n (n + 1)} = & \frac{α}{n + 1} - \frac{β}{n} 分子のみに着目する . \\ 2 n - 1 = & n α - β (n + 1) \\ α - β = & 2 \\ - β = & - 1 \\ 以上より, α = & 3, β = 1 \end{aligned}$
$\frac{ツ}{n + 1} - \frac{テ}{n} = \frac{3}{n + 1} - \frac{1}{n}$
$\begin{aligned} d_{n} = & \frac{(2 n - 1) 3^{n}}{n (n + 1)} = \frac{3 \cdot 3^{n}}{n + 1} - \frac{3^{n}}{n} とあらわせる。 \\ ここで, \frac{3^{n}}{n} = & e_{n} とする . \\ e_{1} = & 3 \\ d_{n} = & e_{n + 1} - e_{n} より, \\ \sum_{k = 1}^{n} d_{k} = & (e_{2} - e_{1}) + (e_{3} - e_{2}) + \dots + (e_{n} - e_{n - 1}) + (e_{n + 1} - e_{n}) \\ = & - e_{1} + e_{n + 1} \\ = & - 3 + \frac{3^{n + 1}}{n + 1} \end{aligned}$
$- ト + \frac{3^{n + ナ}}{n + ニ} = - 3 + \frac{3^{n + 1}}{n + 1}$

こたえ

$\frac{ツ}{n + 1} - \frac{テ}{n} = \frac{3}{n + 1} - \frac{1}{n}$
$- ト + \frac{3^{n + ナ}}{n + ニ} = - 3 + \frac{3^{n + 1}}{n + 1}$

関連

プロフィール

Author Profile

Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

カテゴリー