高校数学の「放物線の条件から定数を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年12月6日二次関数Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検準2級

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高校数学の「放物線の条件から定数を求める」問題を解いてみる。

KEYWORDS高校数学 , 放物線の条件から定数を求める , 頂点 , 軸 , 数学検定準2級

問題

problem
放物線\( \ p \ : \ y=x^2+5x+a \ \)の頂点\( \ \mathrm{A} \ \)の座標は\( \ \left( -\frac{5}{2} \ , \ a-\frac{25}{4}\right) \ \)である。
また、放物線\( \ p \ \)が\( \ x \ \)軸と異なる2点\( \ \mathrm{B} \ , \ \mathrm{C} \ \)で交わるとき、
\( \ \mathrm{BC}=\sqrt{25-4a} \ \)である。
さらに\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)の面積\( \ \mathrm{S} \ \)の値が\( \ 27 \ \)であるときの\( \ a \ \)の値を求めよ。

条件をグラフに描き起こす
$$\begin{align}頂点\mathrm{A}が&\left( -\frac{5}{2} \ , \ a-\frac{25}{4}\right)\quad であることより \ 放物線 \ p \ は \ y=&\left( x+\frac{5}{2}\right)^2+a-\frac{25}{4}\quad と表せる.\ \ 放物線 \ p \ は&x軸と異なる2点で交わるから\ a-\frac{25}{4} \lt &0\ a \lt &\frac{25}{4}\quad である. \end{align}$$
$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}の面積\mathrm{S}は& \ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\sqrt{25-4a}\left( \frac{25}{4}-a\right) \ =&\frac{1}{8}\sqrt{25-4a}\left( 25-4a\right)=27 \end{align}$$
式を変形する。
$$\begin{align}\sqrt{25-4a}\left( 25-4a\right)=&6^3\ 両辺を&2乗する \ \left( 25-4a\right)^3=&36^3 \ \left( 25-4a\right)=&36 \end{align}$$
$$\begin{align}25-4a=&36 \ -4a=&11 \ a=&-\frac{11}{4}\quad \left( これは \ a \lt \frac{25}{4} \ を満たす\right) \end{align}$$

こたえ

$$a=-\frac{11}{4}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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