高校数学の「放物線の条件から定数を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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高校数学の「放物線の条件から定数を求める」問題を解いてみる。

KEYWORDS高校数学 , 放物線の条件から定数を求める , 頂点 , 軸 , 数学検定準2級

問題

problem

 

放物線\( \ p \ : \ y=x^2+5x+a \ \)の頂点\( \ \mathrm{A} \ \)の座標は\( \ \left( -\frac{5}{2} \ , \ a-\frac{25}{4}\right) \ \)である。
また、放物線\( \ p \ \)が\( \ x \ \)軸と異なる2点\( \ \mathrm{B} \ , \ \mathrm{C} \ \)で交わるとき、
\( \ \mathrm{BC}=\sqrt{25-4a} \ \)である。
さらに\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)の面積\( \ \mathrm{S} \ \)の値が\( \ 27 \ \)であるときの\( \ a \ \)の値を求めよ。

条件をグラフに描き起こす
$$\begin{align}頂点\mathrm{A}が&\left( -\frac{5}{2} \ , \ a-\frac{25}{4}\right)\quad であることより \\ 放物線 \ p \ は \ y=&\left( x+\frac{5}{2}\right)^2+a-\frac{25}{4}\quad と表せる.\\ \\ 放物線 \ p \ は&x軸と異なる2点で交わるから\\ a-\frac{25}{4} \lt &0\\ a \lt &\frac{25}{4}\quad である. \end{align}$$
$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}の面積\mathrm{S}は& \\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\sqrt{25-4a}\left( \frac{25}{4}-a\right) \\ =&\frac{1}{8}\sqrt{25-4a}\left( 25-4a\right)=27 \end{align}$$
式を変形する。
$$\begin{align}\sqrt{25-4a}\left( 25-4a\right)=&6^3\\ 両辺を&2乗する \\ \left( 25-4a\right)^3=&36^3 \\ \left( 25-4a\right)=&36 \end{align}$$
$$\begin{align}25-4a=&36 \\ -4a=&11 \\ a=&-\frac{11}{4}\quad \left( これは \ a \lt \frac{25}{4} \ を満たす\right) \end{align}$$

こたえ

$$a=-\frac{11}{4}$$

プロフィール

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Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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