高校数学の「絶対値を含む二次関数とその共有点」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

読了時間: 約43
KEYWORDS高校数学 , 二次関数 , 絶対値 , 共有点 , 数学検定準2級

問題

problem

 

関数\(y=\vert x^2+x-6 \vert+x\)のグラフと直線\(y=a\)の共有点について
共有点が3個の時の\(a\)の値とすべての共有点を求めよ。
dino

ディノ

うおぉ!式の一部に絶対値が含まれてるぞ~~~!
Lukia_74

Lukia

ディノさん、ひとまず食べちゃってから解きませんか?
見た感じ、少し時間がかかるので、溶けちゃいますよ?

dino

ディノ

お、そうか。じゃすぐ食っちゃおうぜ♪

ディノさんは、その後一口でアイスクリームを食べてしまいました。
私は、もう少しのんびり食べたかったのにな・・・。

絶対値をはずして、グラフを描こう。

Lukia_74

Lukia

では、ディノさん、まずすることはなんですか?
dino

ディノ

そりゃぁ、絶対値をはずすことだよ。
Lukia_74

Lukia

そうですね。ではさっそくやってみましょう。

$$\begin{align}f\left( x\right)=&\vert x^2+x-6 \vert \ とする。 \\ f\left( x\right)=&x^2+x-6\quad \left( x \leqq -3 \ , \ 2 \leqq x\right) \\ f\left( x\right)=&-x^2-x+6\quad \left( -3 \leqq x \leqq 2\right) \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

グラフは、以下の通りになりますね。

dino

ディノ

ということは、もともとの\(y=\cdots\)の式も、青のグラフのときと、ピンクのグラフのときじゃ違ってくるってことだよな。
Lukia_74

Lukia

おっ、なかなかカンがいいですね。
では、書き直してみてくれますか?

$$\begin{align}&x \leqq -3 \ , \ 2 \leqq x\quad のとき\\ y=&\color{#f700ca}{x^2+x-6}+x\\ =&x^2+2x-6\\ =&\left( x+1\right)^2-7 \end{align}$$
$$\begin{align}&-3 \lt x \lt 2\quad のとき \\ y=&\color{#0004fc}{-x^2-x+6}+x \\ =&-x^2+6 \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

これらの式をもとにグラフを描くと、
以下のようになります。

直線y=aとの共有点を探す。

Lukia_74

Lukia

\(y=a\)の\(a\)は、実数であればなんでもいい。という意味になります。
ちなみに、\(x\)と\(y\)のどちらの軸に平行ですか?
dino

ディノ

ええっと・・・
(たとえば\(y=3\)として・・・)
おっ、\(x\)軸に平行だな!
Lukia_74

Lukia

そうです。それでは、先ほどのグラフに、ものさしなどをあてて、共有点の個数を探していきましょう。
ちなみに、問題では、「共有点が3つになるとき」とありますから、ものさし\(\left( y=a\right)\)とグラフが3点で交わるときを探せばいいですね。

私がそういうと、ディノさんは、ものさしをグラフにあてて、上下にスライドさせました。

dino

ディノ

グラフ自体が、\(y=-3\)より下にはないから、そこから上にスライドさせてみるぞ。
おっ、\(y=-3\)のときは、1点だったが、さっそく2点で交わってるな。
あっ、\(y=2\)のとき、3点になった!
Lukia_74

Lukia

もうなさそうですか?
dino

ディノ

いや、グラフはまだ続いてるんだから、まだスライドしてみるぞ。
\(y=2\)を過ぎたとたん、4つになった。
このまま4つなのか?
・・・
いや、また3点になった!\(y=6\)のときだ!
そして、それ以降はずっと2点だな。
Lukia_74

Lukia

つまり、グラフと\(y=a\)が3点で交わるのは、
\(a=6\)のときと、
\(a=2\)のとき。ということになりますね。

場合分けをしてこたえを求める。

$$\begin{align}ⅰ)&a=2 \ のとき \\ &2=\color{#f700ca}{x^2+2x-6} \quad \left( x \leqq -3 \ , \ 2 \leqq x\right)\\ &x^2+2x-8=0 \\ &x=-4 \ , \ 2 \\ &2=\color{#0004fc}{-x^2+6}\quad \left( -3 \leqq x \leqq 2\right) \\ &x^2-4=0\\ &範囲より \ x=-2\\ \\ &以上より、a=2 \ のときの共有点は\\ &x=-4 \ , \ -2 \ , \ 2 \end{align}$$

$$\begin{align}ⅱ)&a=6 \ のとき \\ &6=\color{#f700ca}{x^2+2x-6} \quad \left( x \leqq -3 \ , \ 2 \leqq x\right)\\ &x^2+2x-12=0\\ &x=-1 \pm \sqrt{13}\\ \\ &6=\color{#0004fc}{-x^2+6}\quad \left( -3 \leqq x \leqq 2\right)\\ &x^2=0\\ &x=0\\ \\ &以上より、a=6 \ のときの共有点は\\ &x=-1 \pm \sqrt{13} \ , \ 0\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}ⅰ)&a=2 \ のとき\\ &x=-4 \ , \ -2 \ , \ 2\\ \\ ⅱ)&a=6 \ のとき\\&x=-1 \pm \sqrt{13} \ , \ 0 \end{align}$$

カテゴリー