高校数学の「積分とその応用・絶対値を含む積分」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2018年10月23日2021年8月16日積分とその応用実用数学技能検定（数学検定数検),数検準1級

読了時間: 約5分11秒

問題

$\displaystyle\displaystyle\int_{0}^{2} \vert e^x-3 \vert dx$ を求めよ。

絶対値が含まれてるぞ！

ディノ

うおぉ、なんか難しそうな記号があるけど、絶対値の記号もあるな！

Lukia

ディノさんは、積分はまだ習ってないんですね。

ディノ

アイス食いながら待っといてやるから、絶対値のとこだけ解かせろ！

Lukia

はい・・・
ええっ、っていうか、そのアイス、私の・・・

ディノ

早く解かねぇと、なくなるぞ？（￣ー￣）ニヤリッ

$$\begin{align}e^x=t とする。\\\\ \quad \quad x=\log t でもある。 \end{align}$$

$$x$$	$$\quad 0 \ → \ 2\quad $$
$$t$$	$$\quad 1 \ → \ e^2\quad $$

$$\begin{align}両辺を&x \ で微分する。 \\\\ e^x=&\displaystyle\frac{ \mathrm{ d } t }{ \mathrm{ d } x } \\\\ tdx=&dt\\\\ dx=&\displaystyle\frac{1}{t}dt\\\\ ゆえに& \\\\ 与式=&\displaystyle\int_{1}^{e^2} \vert t-3 \vert \cdot \displaystyle\frac{1}{t}dt \end{align}$$

Lukia

ディノさん、できましたよ！
ああっ・・・私のアイスが・・・

ディノ

食べながらじゃ、解けないだろ？
そのうちに溶けてもなんだし。（笑）

Lukia

ダジャレ言ってる場合ですかッ！
うう、こうなったら、少しつきあってもらいますよっ。（涙）

絶対値をはずす。

Lukia

では、ディノさん、$f\left( t\right)=\vert t-3 \vert\cdot \displaystyle\frac{1}{t}$ として考えてみましょう。
まず、どうしたらいいですか？

ディノ

そりゃ～、まずは「絶対値をはずす」よな。
$y=\vert t-3 \vert$のグラフを描く。

Lukia

じゃ、描いてください。

ディノ

おう。こうだな。

$$\begin{align}f\left( t\right)=&\left( t-3\right)\cdot \displaystyle\frac{1}{1} \quad \quad 3 \leqq t \ のとき\\\\ =&-\left( t-3\right)\cdot \displaystyle\frac{1}{1} \quad \quad 3 \gt t \ のとき\end{align}$$

Lukia

ちなみに、式にある$1$と$e^2$というのは、
定義域みたいなものなのですが、上のグラフに$1$は簡単に打てるものの、$e^2$はぱっと思いつかないですね。
$e$はおよそ$2.7$なのですが、さて、$3$よりも右なのでしょうか、左にあるのでしょうか。

ディノ

よ～するに、$\left( 2.7\right)^2$ってことだよな。
小数点の計算するのはめんどくさいし・・・
！・・・
$e \fallingdotseq 2.7 \fallingdotseq 3$として、$3^2=9$だから、$e^2$は、$3$よりも右にある！

Lukia

まぁ、よっぽど急いでいるなら、それでもいいですけど、
もはや溶けるのを気にするべきアイスもないわけですから、もう少していねいにやってもらえません？

ディノ

ふむ。そうか。
じゃ、
$\left( 2.7\right)^2=\left( 3-0.3\right)^2=9-1.8+0.09=7.29 \gt 3$
はどうだ？

Lukia

たしかに、正確です。
でも結局、小数点を含んだ計算をしてしまってますよね。
ここまで丁寧なのはいらないんです。
もうちょっとぱっと考えられる方法はありませんか？

ディノ

くぅう～～～！食い物の恨みはこえぇよ！
あ、じゃ、こういうのはどうだ？
$3=\left( \sqrt{3}\right)^2$で・・・（チラッ）
おっ、いい感じなんだな。
$\sqrt{3}$そのものの大きさを考える。
$1 \lt \sqrt{3} \lt 2$で、$e \fallingdotseq 2.7$ だから、
$\sqrt{3} \lt e$だ！
その大小関係は二乗したって変わんねーから、$3 \lt e^2$だ！

Lukia

その通りです。お疲れ様でした。
で、ディノさんがあれこれ計算して出してくれたので、ちょっと正確な範囲をグラフに描きこんでおきましょうね。

積分の計算をしていく。

$$\begin{align}与式=&\displaystyle\int_{1}^{e^2} \vert t-3 \vert \cdot \displaystyle\frac{1}{t} dt
\\\\ =&-\displaystyle\int_{1}^{3} \left( 1-\displaystyle\frac{3}{t}\right) dt+\displaystyle\int_{3}^{e^2} \left( 1-\displaystyle\frac{3}{t}\right) dt \end{align}$$

ディノ

絶対値をはずしたから、式が二つになったんだな。

Lukia

そうですね。

$$\begin{align}ここで、1-\displaystyle\frac{3}{t}=f\left( t\right) \ &とし、 \\\\ f\left( t\right)の原関数を\mathrm{F}\left( t\right)&とする。 \\\\ 与式=& -\mathrm{F}\left( 3\right)+\mathrm{F}\left( 1\right)+\mathrm{F}\left( e^2\right)-\mathrm{F}\left( 3\right)\\\\ =&\mathrm{F}\left( e^2\right)-2\mathrm{F}\left( 3\right)+\mathrm{F}\left( 1\right) \end{align}$$
$$\begin{align}\mathrm{F}\left( t\right)=&t-3\log t+\mathrm{C}\quad \left( \mathrm{C}は積分定数\right) \\\\ であるから、
\\\\ 与式=&e^2-3\log e^2-2\left( 3-3\log 3\right)+1-3\log 1 \\\\ =&e^2-6-6+6\log 3+1\\\\ =&e^2-11+6\log 3 \end{align}$$

ディノ

おっ、これが答えか。

Lukia

はい。
まぁ、場合によっては、$6\log 3$を$\log 729$ とすることもできますが、ここらへんは解答の指示に従ってください。
・・・あれ？ディノさん？

ディノ

さっき、ついうまくて食べちゃったからよ。
新しいの買ってきた。

Lukia

ディノさん・・・。（ほっこり）
・・・えっ、ええ～～～？？？

ディノ

オレももう一個食うんだ♪

Lukia

・・・