高校数学の「積分とその応用・絶対値を含む積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS
高校数学Ⅲ , 積分とその応用 , 絶対値を含む積分 , 数検準1級

問題

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\(\int_{0}^{2} \vert e^x-3 \vert dx\) を求めよ。

絶対値が含まれてるぞ!

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ディノ

うおぉ、なんか難しそうな記号があるけど、絶対値の記号もあるな!
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Lukia

ディノさんは、積分はまだ習ってないんですね。
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ディノ

アイス食いながら待っといてやるから、絶対値のとこだけ解かせろ!
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Lukia

はい・・・
ええっ、っていうか、そのアイス、私の・・・
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ディノ

早く解かねぇと、なくなるぞ?( ̄ー ̄)ニヤリッ


$$\begin{align}e^x=t とする。\quad \quad x=\log t でもある。 \end{align}$$

$$x$$ $$\quad 0 \ → \ 2\quad $$
$$t$$ $$\quad 1 \ → \ e^2\quad $$

$$\begin{align}両辺を&x \ で微分する。 \\ e^x=&\frac{ \mathrm{ d } t }{ \mathrm{ d } x } \\ tdx=&dt\\ dx=&\frac{1}{t}dt\\ ゆえに& \\ 与式=&\int_{1}^{e^2} \vert t-3 \vert \cdot \frac{1}{t}dt \end{align}$$

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Lukia

ディノさん、できましたよ!
ああっ・・・私のアイスが・・・
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ディノ

食べながらじゃ、解けないだろ?
そのうちに溶けてもなんだし。(笑)
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Lukia

ダジャレ言ってる場合ですかッ!
うう、こうなったら、少しつきあってもらいますよっ。(涙)

絶対値をはずす。

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Lukia

では、ディノさん、\(f\left( t\right)=\vert t-3 \vert\cdot \frac{1}{t}\) として考えてみましょう。
まず、どうしたらいいですか?
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ディノ

そりゃ~、まずは「絶対値をはずす」よな。
\(y=\vert t-3 \vert\)のグラフを描く。
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Lukia

じゃ、描いてください。
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ディノ

おう。こうだな。


$$\begin{align}f\left( t\right)=&\left( t-3\right)\cdot \frac{1}{1} \quad \quad 3 \leqq t \ のとき\\ =&-\left( t-3\right)\cdot \frac{1}{1} \quad \quad 3 \gt t \ のとき\end{align}$$

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Lukia

ちなみに、式にある\(1\)と\(e^2\)というのは、
定義域みたいなものなのですが、上のグラフに\(1\)は簡単に打てるものの、\(e^2\)はぱっと思いつかないですね。
\(e\)はおよそ\(2.7\)なのですが、さて、\(3\)よりも右なのでしょうか、左にあるのでしょうか。
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ディノ

よ~するに、\(\left( 2.7\right)^2\)ってことだよな。
小数点の計算するのはめんどくさいし・・・
!・・・
\(e \fallingdotseq 2.7 \fallingdotseq 3\)として、\(3^2=9\)だから、\(e^2\)は、\(3\)よりも右にある!
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Lukia

まぁ、よっぽど急いでいるなら、それでもいいですけど、
もはや溶けるのを気にするべきアイスもないわけですから、もう少していねいにやってもらえません?
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ディノ

ふむ。そうか。
じゃ、
\(\left( 2.7\right)^2=\left( 3-0.3\right)^2=9-1.8+0.09=7.29 \gt 3\)
はどうだ?
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Lukia

たしかに、正確です。
でも結局、小数点を含んだ計算をしてしまってますよね。
ここまで丁寧なのはいらないんです。
もうちょっとぱっと考えられる方法はありませんか?
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ディノ

くぅう~~~!食い物の恨みはこえぇよ!
あ、じゃ、こういうのはどうだ?
\(3=\left( \sqrt{3}\right)^2\)で・・・(チラッ)
おっ、いい感じなんだな。
\(\sqrt{3}\)そのものの大きさを考える。
\(1 \lt \sqrt{3} \lt 2\)で、\(e \fallingdotseq 2.7\) だから、
\(\sqrt{3} \lt e\)だ!
その大小関係は二乗したって変わんねーから、\(3 \lt e^2\)だ!
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Lukia

その通りです。お疲れ様でした。
で、ディノさんがあれこれ計算して出してくれたので、ちょっと正確な範囲をグラフに描きこんでおきましょうね。

積分の計算をしていく。

$$\begin{align}与式=&\int_{1}^{e^2} \vert t-3 \vert \cdot \frac{1}{t} dt
\\ =&-\int_{1}^{3} \left( 1-\frac{3}{t}\right) dt+\int_{3}^{e^2} \left( 1-\frac{3}{t}\right) dt \end{align}$$

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ディノ

絶対値をはずしたから、式が二つになったんだな。
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Lukia

そうですね。

$$\begin{align}ここで、1-\frac{3}{t}=f\left( t\right) \ &とし、 \\ f\left( t\right)の原関数を\mathrm{F}\left( t\right)&とする。 \\ 与式=& -\mathrm{F}\left( 3\right)+\mathrm{F}\left( 1\right)+\mathrm{F}\left( e^2\right)-\mathrm{F}\left( 3\right)\\ =&\mathrm{F}\left( e^2\right)-2\mathrm{F}\left( 3\right)+\mathrm{F}\left( 1\right) \end{align}$$
$$\begin{align}\mathrm{F}\left( t\right)=&t-3\log t+\mathrm{C}\quad \left( \mathrm{C}は積分定数\right) \ であるから、
\\ 与式=&e^2-3\log e^2-2\left( 3-3\log 3\right)+1-3\log 1 \\ =&e^2-6-6+6\log 3+1\\ =&e^2-11+6\log 3 \end{align}$$

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ディノ

おっ、これが答えか。
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Lukia

はい。
まぁ、場合によっては、\(6\log 3\)を\(\log 729\) とすることもできますが、ここらへんは解答の指示に従ってください。
・・・あれ?ディノさん?
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ディノ

さっき、ついうまくて食べちゃったからよ。
新しいの買ってきた。
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Lukia

ディノさん・・・。(ほっこり)
・・・えっ、ええ~~~???
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ディノ

オレももう一個食うんだ♪
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Lukia

・・・

こたえ

$$e^2-11+6\log 3$$

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