高校数学の「内接円の半径」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年10月20日図形の性質

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問題

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三角形\(\mathrm{ABC}\)において、\(\mathrm{AB}=9\)、\(\mathrm{BC}=17\)、\(\mathrm{CA}=10\)、\(\sin \angle \mathrm{\mathrm{B}}=\frac{8}{17}\)であるとき、\(\triangle \mathrm{\mathrm{ABC}}\)の内接円の半径\(r\)はいくらか。

解法


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Lukia

グラフは、GRAPESで描けるようになったのですが、
三角形などの図形はまだうまく描けません。
数値が正確ではないのですが、おおよその図でイメージしてください。

$$\begin{align}\triangle \mathrm{\mathrm{ABC}}&の面積を\mathrm{S}とする。 \\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot \sin \angle \mathrm{\mathrm{B}} \\ =&\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 17\cdot \frac{8}{17}=36 \end{align}$$
$$\begin{align}また、\triangle \mathrm{\mathrm{ABC}}&の内接円の中心を\mathrm{I}とすると、 \\ \mathrm{S}=&\triangle \mathrm{\mathrm{IBC}}+\triangle \mathrm{\mathrm{ICA}}+\triangle \mathrm{\mathrm{IAB}} \\ =&\frac{1}{2}r\left( \mathrm{AB+BC+CA}\right) より\end{align}$$
$$\begin{align}36=&\frac{1}{2}r\left( 9+17+10\right) \\ 36=&\frac{1}{2}r\cdot 36 \\ r=&2 \end{align}$$

こたえ


$$r=2$$

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2018年10月20日図形の性質

Posted by Lukia_74