高校数学の「対数をとって考える漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「対数をとって考える漸化式」に関する問題を解いてみました。

問題

次の条件によって定められる数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) の一般項を求めよ。
\( \ a_1=3 \ \), \( \ a_{n+1}=\displaystyle\frac{3\sqrt[ 3 ]{ a_n }}{a_n} \ \) \( \ \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right) \ \)

解法

両辺の対数をとる。(底は\( \ 10 \ \) 記述を省略する)
$$\begin{align}\log a_{n+1}=&\log \frac{3\cdot \sqrt[ 3 ]{ a_n }}{a_n} \\\\ =&\log 3+\frac{1}{3}\log a_n-\log a_n \\\\ \\\\ \log a_{n+1}=&-\frac{2}{3}\log a_n+\log 3 \end{align}$$

$$\begin{align}\log a_{n+1}=&-\frac{2}{3}\log a_n+\log 3\\\\ \left( \log a_{n+1}- \alpha\right)=&-\frac{2}{3}\left( \log a_n-\alpha\right) \\\\ ここで、 \ \alpha=&\log \frac{9}{5} \ より \\\\ \left( \log a_{n+1}-\log \frac{9}{5}\right)=&-\frac{2}{3}\left( \log a_n-\log \frac{9}{5}\right) \end{align}$$
ここで、\( \ b_n=\log a_n-\log \displaystyle\frac{9}{5} \ \) とする。また、\( \ b_1=\log \displaystyle\frac{5}{3} \ \)
\( \ b_n=\log \displaystyle\frac{5}{3}\cdot \left( -\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n-1} \ \)
\( \ b_n=\log a_n-\log \displaystyle\frac{9}{5} \ \) より

$$\begin{align}\log a_n=&\log \frac{5}{3}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\log \frac{9}{5} \\\\ =&\log \frac{5}{3}\times \frac{9}{5}\times \left( -\frac{2}{3}\right)^{n-1} \\\\ \log a_n=&\log 3\cdot \left( -\frac{2}{3}\right)^{n-1}\\\\ a_n=&3\cdot \left( -\frac{2}{3}\right)^{n-1} \end{align}$$

こたえ

\( \ a_n=3\cdot \left( -\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{n-1} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74