高校数学の「軸が変数の放物線の最大・最小」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「軸が変数の放物線の最大・最小」に関する問題を解いてみました。

問題

2次関数 \( \ y=x^2-2ax \ \) の \( \ 0 \leqq x \leqq 4 \ \) における最大値を \( \ \mathrm{M} \ \), 最小値を \( \ m \ \) とする。次の①〜④の各場合において、\( \ \mathrm{M} \ \), \( \ m \ \) をそれぞれ定数 \( \ a \ \) の式で表せ。
① \( \ a \leqq 0 \ \)
② \( \ 0 \leqq a \leqq 2 \ \)
③ \( \ 2 \leqq a \leqq 4 \ \)
④ \( \ 4 \leqq a \ \)

解法

\( \ y=f\left( x\right) \ \)とする。
\( \ f\left( x\right)=\left( x-a\right)^2-a^2 \ \)
頂点は、\( \ \left( a \ , \ -a^2\right) \ \)である。
以下、①〜④におけるそれぞれの放物線とその軸、定義域の位置関係を示す。

Lukia_74
Lukia
放物線に対し、定義域を右から左へスライドさせていきます。
その際、軸と定義域の中央との関係を意識するようにします。
① \( \ a \leqq 0 \ \) のとき

場合①の放物線と定義域の位置関係 最大値: \( \ f\left( 4\right)=4-4a \ \)
最小値: \( \ f\left( 0\right)=0 \ \)

② \( \ 0 \leqq a \leqq 2 \ \) のとき

場合②の放物線と定義域の位置関係 最大値: \( \ f\left( 4\right)=4-4a \ \)
最小値: \( \ f\left( a\right)=-a^2 \ \)

③ \( \ 2 \leqq a \leqq 4 \ \) のとき

場合③の放物線と定義域の位置関係 最大値: \( \ f\left( 0\right)=0 \ \)
最小値: \( \ f\left( a\right)=-a^2 \ \)

④ \( \ 4 \leqq a \ \) のとき

場合④の放物線と定義域の位置関係 最大値: \( \ f\left( 0\right)=0 \ \)
最小値: \( \ f\left( 4\right)=4-4a \ \)

こたえ

 
最大値 \( \ 4-4a \ \) \( \ 4-4a \ \) \( \ 0 \ \) \( \ 0 \ \)
最小値 \( \ 0 \ \) \( \ -a^2 \ \) \( \ -a^2 \ \) \( \ 4-4a \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74