高校数学の「階差数列がひそむ漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2021年11月28日2023年1月10日数列

Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「階差数列がひそむ漸化式」に関する問題を解いてみました。

解法

(1)
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{S}_{n+1}=3\mathrm{S}_n+n+1\quad \cdots \ ① \\
\mathrm{S}_{n+2}=3\mathrm{S}_{n+1}+n+2\quad \cdots \ ②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
②-① をする。
\( \ \left( \mathrm{S}_{n+2}-\mathrm{S}_{n+1}\right)=3\left( \mathrm{S}_{n+1}-\mathrm{S}_n\right)+1 \ \)
ここで、 \( \ \mathrm{S}_{n+1}-\mathrm{S}_n=b_n \ \)とする。また、\( \ b_1=4 \ \)
$$\begin{align}b_{n+1}=&3b_n+1 \\\\ \left( b_{n+1}-\alpha\right)=&3\left( b_n-\alpha\right) \\\\ \alpha=&-\frac{1}{2} \ より\\\\ \left( b_{n+1}+\frac{1}{2}\right)=&3\left( b_n+\frac{1}{2}\right) \end{align}$$
ここで、\( \ c_n=b_n+\displaystyle\frac{1}{2} \ \) とおく。また、\( \ c_1=\displaystyle\frac{9}{2} \ \)
\( \ c_n=\displaystyle\frac{9}{2}\cdot 3^{n-1} \ \) より、
\( \ b_n=\displaystyle\frac{9}{2}\cdot 3^{n-1}-\displaystyle\frac{1}{2} \ \)

\( \ \mathrm{S}_{n+1}-\mathrm{S}_n=b_n \ \)より、\( \ \mathrm{S}_n \ \)は階差数列であるから、
$$\begin{align}\mathrm{S}_n=&S_1+\sum_{k=1}^{n-1}{b_k} \ \left( n \geqq 2\right) \\\\ =&1+\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{9}{2}\cdot 3^{k-1}-\frac{1}{2}} \\\\ =&1+\frac{9}{2}\cdot 3^{n-1}-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\left( n-1\right)\\\\ =&\frac{1}{4}\cdot 3^{n-1+2}-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4}\\\\ =&\frac{1}{4}\cdot 3^{n+1}-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4} \end{align}$$
\( \ n=1 \ \) のときも成り立つ。

(2)

$$\begin{align}a_n=&\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} \\\\ =&\frac{1}{4}\cdot 3^{n+1}-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4}-\lbrace \frac{1}{4}\cdot 3^n-\frac{1}{2}\left( n-1\right)-\frac{3}{4}\rbrace \\\\ =&\frac{1}{2}\cdot 3^n-\frac{1}{2} \end{align}$$

こたえ

(1) \( \ \mathrm{S}_n=\displaystyle\frac{1}{4}\cdot 3^{n+1}-\displaystyle\frac{1}{2}n-\displaystyle\frac{3}{4} \ \)

(2) \( \ a_n=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 3^n-\displaystyle\frac{1}{2} \ \)

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。