高校数学の「分数に変形する漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「分数に変形する漸化式」に関する問題を解いてみました。
問題
次の条件によって定められる数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) の一般項を求めよ。
\( \ a_1=1 \ \), \( \ a_{n+1}=\displaystyle\frac{3\left( n+1\right)}{n}a_n \ \) \( \ \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right) \ \)
\( \ a_1=1 \ \), \( \ a_{n+1}=\displaystyle\frac{3\left( n+1\right)}{n}a_n \ \) \( \ \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right) \ \)
解法
\( \ a_{n+1}=\displaystyle\frac{3\left( n+1\right)}{n}a_n \ \) について
両辺を \( \ \left( n+1\right) \ \) で割る。
\( \ \displaystyle\frac{a_{n+1}}{n+1}=3\cdot \displaystyle\frac{a_n}{n} \ \)
ここで、\( \ b_n=\displaystyle\frac{a_n}{n} \ \) とおく。
\( \ b_1=1 \ \), \( \ b_{n+1}=3b_n \ \) より
\( \ b_n=3^{n-1} \ \)
\( \ a_n=n\cdot b_n \ \) より
\( \ a_n=n\cdot 3^{n-1} \ \)
こたえ
\( \ a_n=n\cdot 3^{n-1} \ \)
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