高校数学の「分数に変形する漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列

『高校数学の「分数に変形する漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)』のアイキャッチ画像
読了時間: 約056


Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「分数に変形する漸化式」に関する問題を解いてみました。

問題

次の条件によって定められる数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) の一般項を求めよ。
\( \ a_1=1 \ \), \( \ a_{n+1}=\displaystyle\frac{3\left( n+1\right)}{n}a_n \ \) \( \ \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right) \ \)

解法

\( \ a_{n+1}=\displaystyle\frac{3\left( n+1\right)}{n}a_n \ \) について
両辺を \( \ \left( n+1\right) \ \) で割る。

\( \ \displaystyle\frac{a_{n+1}}{n+1}=3\cdot \displaystyle\frac{a_n}{n} \ \)

ここで、\( \ b_n=\displaystyle\frac{a_n}{n} \ \) とおく。
\( \ b_1=1 \ \), \( \ b_{n+1}=3b_n \ \) より
\( \ b_n=3^{n-1} \ \)
\( \ a_n=n\cdot b_n \ \) より
\( \ a_n=n\cdot 3^{n-1} \ \)

こたえ

\( \ a_n=n\cdot 3^{n-1} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

カテゴリー

数列

Posted by Lukia_74