高校数学の「初の試み!? 変数を定数に見立てて漸化式」を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

数列

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「初の試み!? 変数を定数に見立てて漸化式」を解いてみました。

問題

\( \ a_1=1 \ \) , \( \ a_{n+1}=3a_n+4^n+n \ \) で表される
数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) の一般項を求めよ。

解法

\( \ a_{n+1}=3a_n+4^n+n \ \)について
$$\begin{align}\left( a_{n+1}-\alpha\right)=&3\left( a_n-\alpha\right) \ \rm{より} \\\\ -3\alpha+\alpha=&4^n+n \\\\ \alpha=&-\frac{1}{2}\left( 4^n+n\right) \\\\ \left( a_{n+1}+\frac{4^n+n}{2}\right)=&3\left( a_n+\frac{4^n+n}{2}\right)\\\\ \rm{ここで}&\\\\ b_n=&a_n+\frac{4^n+n}{2}\\\\ \rm{特に}&\\\\ b_1=&1+\frac{4+1}{2}=\frac{7}{2} \ \rm{より}\\\\ b_n=&\frac{7}{2}\cdot 3^{n-1}\\\\ \rm{ゆえに}&\\\\ a_n=&\frac{7}{2}\cdot 3^{n-1}-\frac{4^n+n}{2}\end{align}$$

Lukia_74
Lukia
この解き方は、変数\( \ 4^n+n \ \) を定数とみなしています。
たまたまうまくいったのか、これでもいいのか、ちょっと判断がつきません。
似たような漸化式でも試してみたいと思います。

こたえ

\( \ a_n=\displaystyle\frac{7}{2}\cdot 3^{n-1}-\displaystyle\frac{4^n+n}{2} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74