高校数学の「すべてをかけたらシンプルになる漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2021年11月29日2023年1月10日数列

Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「すべてをかけたらシンプルになる漸化式」に関する問題を解いてみました。

解法

① \( \ a_n \ \) を \( \ a_{n-1} \ \) \( \ \left( n \geqq 2\right) \ \) で表わす。

\( \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{ka_k}=\left( n-1\right)^2a_{n-1} \ \)
\( \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{ka_k}=na_n+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{ka_k} \ \)

\( \ n^2a_n=na_n+\left( n-1\right)^2a_{n-1} \ \)

\( \ \left( n^2-n\right)a_n=\left( n-1\right)^2a_{n-1} \ \)

\( \ n\left( n-1\right)a_n=\left( n-1\right)^2a_{n-1}\quad \left( n \geqq 2\right) \ \)

\( \ n \geqq 2 \ \) より \( \ n-1 \neq 0 \ \) であるので、

両辺を \( \ n\left( n-1\right) \ \) で割る。

\( \ a_n=\displaystyle\frac{\left( n-1\right)^2}{n\left( n-1\right)}a_{n-1} \ \)

\( \ a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n}a_{n-1} \ \)

② \( \ a_n \ \) を求める。

\( \ a_1=1 \ \)

\( \ a_2=\displaystyle\frac{1}{2}a_1 \ \)

\( \ a_3=\displaystyle\frac{2}{3}a_2 \ \)

\( \ a_4=\displaystyle\frac{3}{4}a_3 \ \)

\( \ \vdots \ \)
\( \ \vdots \ \)
\( \ a_{n-1}=\displaystyle\frac{n-2}{n-1}a_{n-2} \ \)

\( \ a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n}a_{n-1} \ \)

両辺をそれぞれすべてかけ合わせる。
左辺\( \ =a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot \cdots\cdot a_{n-1}\cdot a_n \ \)

右辺 \( \ =1\cdot \left( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{3}{4}\cdot \displaystyle\frac{4}{5}\cdot \cdots\cdot \displaystyle\frac{n-2}{n-1}\cdot \displaystyle\frac{n-1}{n}\right)\cdot a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot \cdots\cdot a_{n-2}\cdot a_{n-1} \ \)

\( \ \left(a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot \cdots\cdot a_{n-1} \right)\cdot a_n=\displaystyle\frac{1}{n}\left(a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot \cdots\cdot a_{n-1} \right) \ \)

\( \ a_n=\displaystyle\frac{1}{n} \ \)

こたえ

① \( \ a_n=\displaystyle\frac{n-1}{n}a_{n-1} \ \)

② \( \ a_n=\displaystyle\frac{1}{n} \ \)

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