高校数学の「指数がらみの漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列

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問題

数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) は \( \ a_1=\displaystyle\frac{1}{2} \ \), \( \ a_{n+1}=\displaystyle\frac{\left( n+1\right)a_n}{n+3^na_n} \ \) \( \ \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right) \ \) を満たすとする。

(1) \( \ b_n=\displaystyle\frac{n}{a_n} \ \) とおくとき、\( \ b_{n+1} \ \) を \( \ b_n \ \) を用いて表わせ。

(2) 数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) の一般項を求めよ。

解法

(1)
$$\begin{align}b_{n+1}=&\frac{n+1}{a_{n+1}} \\\\ =&\left( n+1\right)\cdot \frac{n+3^na_n}{\left( n+1\right)a_n} \\\\ =&\frac{n}{a_n}+3^n \end{align}$$
以上より
$$b_{n+1}=b_n+3^n$$


(2)
$$b_1=2, \ b_{n+1}=b_n+3^n$$
両辺を \( \ 3\cdot 3^n \ \) で割る
$$\begin{align}\frac{b_{n+1}}{3^{n+1}}=&\frac{b_n}{3\cdot 3^n}+\frac{3^n}{3\cdot 3^n} \\\\ \frac{b_{n+1}}{3^{n+1}}=&\frac{1}{3}\cdot \frac{b_n}{3^n}+\frac{1}{3} \end{align}$$
ここで、\( \ c_n=\displaystyle\frac{b_n}{3^n} \ \) とする。また、\( \ c_1=\displaystyle\frac{2}{3} \ \)
$$\begin{align}c_{n+1}=&\frac{1}{3}c_n+\frac{1}{3} \\\\ \left( c_{n+1}-\alpha\right)=&\frac{1}{3}\left( c_n-\alpha\right) \\\\ \alpha=&\frac{1}{2}\\\\ \left( c_{n+1}-\frac{1}{2}\right)=&\frac{1}{3}\left( c_n-\frac{1}{2}\right) \end{align}$$
ここで、\( \ d_n=c_n-\displaystyle\frac{1}{2} \ \)とする。また、\( \ d_1=\displaystyle\frac{1}{6} \ \)
$$d_n=\frac{1}{6}\cdot \left( \frac{1}{3}\right)^{n-1}$$

$$\begin{align}c_n=&\frac{1}{6}\cdot \left( \frac{1}{3}\right)^{n-1}+\frac{1}{2} \\\\ =&\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{3}\right)^n+\frac{1}{2} \\\\ =&\frac{1}{2}\cdot 3^{-n}+\frac{1}{2} \end{align}$$

$$\begin{align}b_n=&c_n\cdot 3^n \\\\ =&\frac{1}{2}\cdot 3^{-n}\cdot 3^n+\frac{1}{2}\cdot 3^n \\\\ =&\frac{3^n+1}{2} \end{align}$$

$$\begin{align}a^n=&\frac{n}{b_n} \\\\ =&\frac{2n}{3^n+1} \end{align}$$

こたえ

(1) \( \ b_{n+1}=b_n+3^n \ \)

(2) \( \ a_n=\displaystyle\frac{2n}{3^n+1} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74